Бусинка на спирали

Угол наклона проволоки к горизонту равен \(\alpha\), причём \[\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{h}{2\pi R}.\tag{1}\] Рассмотрим силы, действующие на бусинку: \(\vec N_1\), \(\vec N_2\) и \(\vec F_{\text{тр}}\) взаимно перпендикулярны, \(\vec F_{\text{тр}}\) направлена вдоль проволоки, \(\vec N_2\) — перпендикулярна к оси спирали, \(\vec N_1\) лежит в плоскости \(m\vec g\) и \(\vec F_{\text{тр}}\) (см. рисунки). Силы \(\vec N_1\), \(\vec N_2\) и \(\vec F_{\text{тр}}\) — составляющие полной силы, действующей на бусинку со стороны проволоки. Когда скорость бусинки устанавливается, полная сила, действующая на неё, равна \(m\vec a\), где \(\vec a\) — ускорение при установившемся движении.

Для вычисления \(\vec a\) перейдём в систему отсчёта, движущуюся вниз со скоростью \(v_0\sin\alpha\). В этой системе бусинка равномерно движется по окружности радиуса \(R\) со скоростью \(v_1\cos\alpha\), её ускорение равно \(\dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{R}\). Вектор \(\vec a\) направлен к центру вращения. Во всех инерциальных системах отсчёта \(\vec a = \text{const}\), поэтому в неподвижной системе ускорение \(\vec a\) такое же.

Отсюда \[N_2 = ma = m\dfrac{v_0^2\cos^2\alpha}{R}.\tag{2}\] При равномерном движении бусинки \[\vec F_{\text{тр}} + \vec N_1 + m\vec g = 0.\tag{3}\] Расписывая (3) в проекциях на оси \(x\) и \(y\), имеем: \[F_{\text{тр}} = mg\sin\alpha,\tag{4}\] \[N_1 = mg\cos\alpha.\] Так как \(\vec N_1\) и \(\vec N_2\) — взаимно перпендикулярные составляющие нормальной силы реакции опоры, то \[F_{\text{тр}} = \mu\sqrt{N_1^2 + N_2^2}.\tag{5}\] Из (2), (4) и (5) имеем: \[g^2\sin^2\alpha = \mu^2\left(g^2\cos^2\alpha + \dfrac{v_0^4\cos^4\alpha}{R^2}\right),\] \[g^2(\operatorname{tg}^2\alpha - \mu^2) = \mu^2\dfrac{v_0^4\cos^2\alpha}{R^2},\] \[v_0^4 = \left(\dfrac{gr}{\mu}\right)^2(\operatorname{tg}^2\alpha - \mu^2)(\operatorname{tg}^2\alpha + 1),\] так как \(\dfrac{1}{\cos^2\alpha} = \operatorname{tg}^2\alpha + 1\). Получим ответ:

если \(\dfrac{h}{2\pi R} > \mu\), то \(v_0 = \sqrt{\dfrac{gR}{\mu}}\sqrt[4]{\left(\left(\dfrac{h}{2\pi R}\right)^2 - \mu^2\right)\left(1 + \left(\dfrac{h}{2\pi R}\right)^2\right)}\);

если \(\dfrac{h}{2\pi R} < \mu\), то \(v_0 = 0\).