Тело на настиле с верёвкой

Тело можно сдвинуть только перпендикулярно верёвке, значит, и сила трения направлена перпендикулярно верёвке. Запишите условие начала движения вдоль этого направления для трёх случаев и исключите угол \(\beta\) и коэффициент трения.

\(F_{\min}=\dfrac{F_1F_2}{\sqrt{(F_1+2mg\sin\alpha)^2+F_2^2}}\).

Сила трения действует на тело в направлении \(AB\), противоположном его возможному перемещению и перпендикулярном верёвке. В этом направлении скатывающая сила и сила, прикладываемая для перемещения тела, также имеют ненулевые проекции. Предположим, что верёвка расположена под углом \(\beta\) к направлению вдоль склона вниз, а коэффициент трения \(\mu\).

В первом случае проекция на \(AB\) силы тяжести \(mg\sin\alpha\sin\beta\), силы \(F_1\) — \(F_1\sin\beta\), и сила трения \(F_{\rm тр}=\mu mg\cos\alpha\), так что \[\mu mg\cos\alpha=mg\sin\alpha\sin\beta+F_1\sin\beta. \tag{1}\]

Во втором случае \[\mu mg\cos\alpha=-mg\sin\alpha\sin\beta+F_2\cos\beta. \tag{2}\] Оптимальным является направление силы \(BA\). В этом случае \[\mu mg\cos\alpha=mg\sin\alpha\sin\beta+F_{\min}. \tag{3}\] Из уравнений (1) и (3) \[F_{\min}=F_1\sin\beta.\] Из уравнений (1) и (2) \[2mg\sin\alpha\sin\beta=F_2\cos\beta-F_1\sin\beta,\] откуда находим \[\dfrac{1}{\sin\beta}=\dfrac{\sqrt{(F_1+2mg\sin\alpha)^2+F_2^2}}{F_2}\] и получаем ответ.

Ответ: \(F_{\min}=\dfrac{F_1F_2}{\sqrt{(F_1+2mg\sin\alpha)^2+F_2^2}}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.