Поршень со ступенькой в сосуде с жидкостью

Воздух под поршнем сжат изотермически: найдите его давление по закону Бойля — Мариотта. Затем запишите равновесие поршня, учтя, что уровень жидкости в узком зазоре поднимается.

\(m=\dfrac{\pi R^4hP_a}{g\left((R^2-r^2)H-R^2h\right)}+\dfrac{\pi r^2R^2h\rho}{R^2-r^2}\).

В равновесном состоянии на поршень массой \(m\) снизу и сверху действуют сила давления воздуха, сила давления жидкости и сила тяжести. Если давление воздуха под поршнем \(P\), то, с учётом закона Паскаля, \[mg=\pi R^2(P-P_a)+\rho g\,\delta h\,\pi r^2,\] где \(\delta h\) — глубина погружения поршня в жидкость. Эта глубина \(\delta h=h+h_1\), где высота подъёма жидкости \(h_1\) определяется из условия сохранения её объёма: \[h_1\pi(R^2-r^2)=h\pi r^2.\] Таким образом, \(\delta h=\dfrac{hR^2}{R^2-r^2}\). Давление воздуха под поршнем найдём из закона Бойля — Мариотта \(P_aV_0=PV\). Начальный объём воздуха \(V_0=\pi(R^2-r^2)H\). Поскольку при опускании поршня меняется только объём воздуха, \(V=V_0-\pi R^2h\). В результате \[P=\dfrac{P_a(R^2-r^2)H}{(R^2-r^2)H-R^2h}.\] Ответ: \[m=\dfrac{\pi R^4hP_a}{g\left((R^2-r^2)H-R^2h\right)}+\dfrac{\pi r^2R^2h\rho}{R^2-r^2}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.