Ящик с колеблющимся грузом

Запишем второй закон Ньютона для груза на пружинах: \[m\dfrac{d^2x}{dt^2} = -mg\cos\alpha + F, \tag{1}\] где \(F\) — сила, действующая на груз со стороны пружин. Ускорение груза \(\dfrac{d^2x}{dt^2}\), совершающего гармонические колебания, выражается соотношением \[\dfrac{d^2x}{dt^2} = -A\omega^2\sin\omega t,\quad\omega = \dfrac{2\pi}{T}.\] Сила реакции наклонной плоскости, действующая на ящик, \[N = (M - m)g\cos\alpha + F. \tag{2}\] Подставив в (2) выражение для \(F\) из (1), получим \[N = Mg\cos\alpha - mA\omega^2\sin\omega t. \tag{3}\] Ящик не будет подпрыгивать, если в любой момент времени \(N > 0\), что выполняется при условии \(Mg\cos\alpha > \omega^2Am\), т.е. при \[\dfrac{M}{m} > \dfrac{4\pi^2}{gT^2}\dfrac{A}{\cos\alpha}.\] Поскольку, согласно условию задачи, \(\mu = \operatorname{tg}\alpha\), то всегда \(F_{\text{тр}} = \mu N\). Следовательно, для любого момента времени \[a(t) = \dfrac{Mg\sin\alpha - \mu N}{M} = \mu\dfrac{m}{M}A\omega^2\sin\omega t.\] Скорость движения ящика \[v(t) = \int\limits_0^ta(t)\,dt = \mu\dfrac{m}{M}A\omega(1 - \cos\omega t). \tag{4}\] Из (4) видно, что скорость ящика изменяется с периодом \(T\), поэтому средняя скорость за большое время равна \[v_{\text{ср}} = \dfrac{1}{T}\int\limits_0^Tv(t)\,dt = 2\pi\dfrac{Am}{TM}\operatorname{tg}\alpha.\]