Доска на гладкой и шероховатой плоскостях

Сила трения на шероховатом участке пропорциональна длине той части доски, которая лежит на нём. Получится уравнение, похожее на уравнение колебаний груза на пружине.

Пусть доска переместилась на \(x\) вдоль плоскости. На неё действуют сила трения скольжения \(\vec F\), сила нормальной реакции \(\vec N\) и сила тяжести \(m\vec g\). Уравнение движения в проекции на ось \(x\) вдоль движения: \[m a_x = -F + mg\sin\alpha .\] Нормальная реакция действует только на часть доски длиной \(x\) на шероховатой полуплоскости, её масса \(m_x = \dfrac{x}{L}m\). Тогда \(N_x = m_x g\cos\alpha\), \(F = \mu N_x = \dfrac{\mu mgx}{L}\cos\alpha\), и уравнение принимает вид \[a_x + \omega^2(x - x_0) = 0, \qquad \omega = \sqrt{\frac{\mu g\cos\alpha}{L}}, \qquad x_0 = \frac{L\operatorname{tg}\alpha}{\mu}.\] Это уравнение гармонических колебаний около положения \(x_0\). Общее решение: \[x(t) = x_0 + C_1\sin\omega t + C_2\cos\omega t, \qquad V_x(t) = C_1\omega\cos\omega t - C_2\omega\sin\omega t .\] Начальные условия при \(t = 0\) (доска начинает движение из состояния покоя): \(x(0) = 0\), \(V_x(0) = 0\), откуда \(C_1 = 0\), \(C_2 = -x_0\): \[x(t) = x_0(1 - \cos\omega t), \qquad V_x(t) = x_0\omega\sin\omega t .\] Доска останавливается в момент \(t = \tau\), когда \(x(\tau) = L\) и \(V_x(\tau) = 0\): \(2x_0 = L\) и \(\omega\tau = \pi\). Из первого равенства \(\mu = 2\operatorname{tg}\alpha\), тогда \(\omega = \sqrt{\dfrac{2g\sin\alpha}{L}}\) и \[\tau = \frac{\pi}{\omega} = \pi\sqrt{\frac{L}{2g\sin\alpha}} = \frac{\pi}{2}\text{ с} \approx 1{,}6\text{ с}.\]