Гелий под поршнем и вакуумный сосуд

Первое начало термодинамики для газа и баланс энергии поршня дают связь работы газа с изменением его температуры. Работа газа равна работе против постоянной силы \(P_0 S + mg\).

1. Пусть \(P_0\) — атмосферное давление, \(m\) и \(S\) — масса и площадь поршня, \(h_2\) — высота поршня в конечном состоянии, \(P\) — давление газа (одинаковое в начале и в конце), \(\nu\) — число молей. Первое начало термодинамики для газа (теплоты нет, газ расширяется в пустой сосуд и совершает работу \(A\) над поршнем): \[0 = \nu C_V(T_2 - T_1) + A .\] Баланс энергии поршня: \(mgh_2 - mgh_1 = A + P_0 S x\), где \(h_1 - h_2 = x\), откуда \(A = -(P_0 S + mg)x\). Условие равновесия поршня: \(PS = P_0 S + mg\), поэтому \(A = -PSx\).

Уравнение состояния: \(PV_1 = \nu RT_1\) и \(P(V_1 + V_2 - Sx) = \nu RT_2\). С учётом \(V_2 = kV_1\): \[A = \nu R T_2 - \nu R T_1(1 + k).\] Подставляя в первое начало, получаем \[T_2 = T_1\frac{C_P + kR}{C_P}, \qquad C_P = C_V + R .\] Для одноатомного газа \(C_V = \dfrac{3}{2}R\), \(C_P = \dfrac{5}{2}R\), поэтому \(T_2 = T_1\dfrac{5 + 2k}{5} = 360\) К.

2. Работа газа \(A = -PSx = -\nu RT_1\dfrac{x}{h_1}\) (так как \(P = \nu R T_1/V_1\) и \(V_1 = Sh_1\)). Сравнивая с \(A = \nu RT_2 - \nu RT_1(1+k)\), получаем \[\frac{x}{h_1} = \frac{T_1(1 + k) - T_2}{T_1}.\] Подставляя \(T_2\), находим \(\dfrac{x}{h_1} = \dfrac{k}{\gamma}\), где \(\gamma = \dfrac{C_P}{C_V} = \dfrac{5}{3}\), то есть \(\dfrac{x}{h_1} = \dfrac{3k}{5} = 0{,}3\).