ЭДС индукции в двухконтурной цепи

Индукционная ЭДС находится из закона Фарадея, а токи — из правил Кирхгофа для трёх токов. Среднее по периоду значение \(\sin\omega t\) равно нулю, а \(\sin^2\omega t\) — одной второй.

Магнитный поток через левый контур \(\Phi = B_0 S\cos\omega t\), ЭДС индукции \(\varepsilon_i = -\dfrac{d\Phi}{dt} = B_0 S\omega\sin\omega t\). Для определённости рассмотрим \(\sin\omega t > 0\), когда ЭДС индукции действует по часовой стрелке. В эквивалентной схеме три неизвестных тока \(I_1\) (через \(R\)), \(I_2\) (через средний резистор \(2R\)) и \(I_3\) (через левый контур):

Правила Кирхгофа дают \[\begin{cases} I_1 + I_3 - I_2 = 0, \\ I_1 R + I_2\cdot 2R = \varepsilon, \\ I_2\cdot 2R + I_3\cdot 2R = \varepsilon_i . \end{cases}\] Исключая \(I_2\) и \(I_3\), получаем \[I_1 = \frac{2\varepsilon - \varepsilon_i}{4R}.\] Мгновенная мощность на сопротивлении \(R\): \[P(t) = I_1^2 R = \frac{1}{16R}\left(4\varepsilon^2 - 4\varepsilon\varepsilon_i + \varepsilon_i^2\right).\] Усредняя по периоду, учитываем \(\langle\varepsilon_i\rangle = 0\) и \(\langle\varepsilon_i^2\rangle = \dfrac{(B_0 S\omega)^2}{2}\): \[P = \frac{1}{16R}\left[4\varepsilon^2 + \frac{(B_0 S\omega)^2}{2}\right] = \frac{\varepsilon^2}{4R}\left[1 + \frac{1}{2}\left(\frac{B_0 S\omega}{2\varepsilon}\right)^2\right].\] Численно \(B_0 S\omega = 3\) В, \(\dfrac{B_0 S\omega}{2\varepsilon} = 1\), и \(P = \dfrac{1{,}5^2}{4\cdot 27}\cdot 1{,}5 \approx 31\) мВт.