Глаз в сферическом зеркале

В обоих случаях изображение глаза находится на расстоянии \(d\) от глаза. Отношение высот изображений равно \(n\); из подобия треугольников найдите положение изображения в зеркале и примените формулу зеркала.

Пусть \(A\) и \(B\) — верхняя и нижняя точки глаза, \(h\) — его вертикальный размер. В плоском зеркале глаз виден мнимым изображением \(A_1B_1\) высоты \(h\), расположенным на расстоянии \(d\) от глаза (зеркало посередине между глазом и изображением).

В вогнутом зеркале глаз расположен между полюсом \(O\) и фокусом \(F\), поэтому прямое мнимое изображение \(A_2B_2\) лежит на продолжении отражённых лучей за зеркалом; оно тоже находится на расстоянии \(d\) от глаза. Его высота \(H = nh\). Пусть \(x\) — расстояние от глаза до полюса, \(y\) — от полюса до изображения. Из подобия треугольников \(AOB\) и \(A_2OB_2\) имеем \(\dfrac{y}{x} = \dfrac{H}{h} = n\), то есть \(y = nx\). Учитывая \(x + y = d\): \[x = \frac{d}{n+1}, \qquad y = \frac{nd}{n+1}.\]

Формула сферического зеркала (расстояния считаются по правилу знаков для мнимого предмета): \[\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{2}{R} \quad\Rightarrow\quad \frac{n+1}{d}\left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{2}{R} \quad\Rightarrow\quad R = \frac{2nd}{n^2 - 1} = 32\text{ см}.\]