Электрическое давление на слой

Внутри металлического слоя поле равно нулю, поэтому заряд его внутренней поверхности равен по модулю заряду шара. Давление на поверхность найдите через изменение энергии поля.

1. Пусть \(q_3\) — заряд внутренней поверхности слоя, тогда заряд его внешней поверхности \(q_1 - q_3\). В произвольной точке \(A\) внутри слоя поле равно нулю: \[E_A = \frac{q_2 + q_3}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad q_3 = -q_2 .\] Значит, внешняя поверхность слоя несёт заряд \(q_1 + q_2\).

Давление на внешнюю поверхность радиуса \(\rho\): элементарная работа электрических сил \(\delta A = P_r\,\Delta V = (w_1 - w_2)\Delta V\), где \(\Delta V = 4\pi\rho^2\Delta\rho\), а \(P_r = \pm P\). Отсюда \(P_r = w_1 - w_2\). Плотность энергии до увеличения радиуса \(w_1 = \varepsilon_0 E_1^2/2\), где \(E_1 = \dfrac{q_1 + q_2}{4\pi\varepsilon_0\rho^2}\); после увеличения поле в объёме \(\Delta V\) (металл) равно нулю, \(w_2 = 0\). Поэтому \[P_r = \frac{(q_1 + q_2)^2}{32\pi^2\varepsilon_0\rho^4}.\] Давление обращается в нуль при \(q_2 = -q_1 = -20\) нКл. Тогда весь заряд слоя \(q_1\) находится на его внутренней поверхности, а заряд шара равен \(-q_1\).

2. Для внутренней поверхности слоя увеличиваем радиус \(R\) на \(\Delta R\). Плотность энергии в объёме \(\Delta V = 4\pi R^2\Delta R\) до увеличения равна нулю (там металл), а после — \(w_2 = \varepsilon_0 E_2^2/2\) с \(E_2 = \dfrac{q_1}{4\pi\varepsilon_0 R^2}\). Поэтому \[P_r = -w_2 = -\frac{q_1^2}{32\pi^2\varepsilon_0 R^4}.\] Знак минус означает притяжение элементов внутренней поверхности к шару. Модуль давления \[P = \frac{q_1^2}{32\pi^2\varepsilon_0 R^4} \approx 11\text{ мПа}.\]