Муравей на вращающемся стержне

Удобно разложить векторы скорости и ускорения по единичным векторам, связанным со стержнем: направленному вдоль стержня и перпендикулярному ему. Эти векторы поворачиваются вместе со стержнем.

1. Введём радиус-вектор \(\vec r\) муравья от точки \(O\) и единичные векторы \(\vec e_1 = \vec r/r\) (вдоль стержня) и \(\vec e_2\) (перпендикулярно \(\vec e_1\), в сторону вращения стержня). Оба вектора жёстко связаны со стержнем и поворачиваются вместе с ним. За малое время \(\Delta t\) радиус-вектор повернулся на угол \(\Delta\varphi = \omega\Delta t\) и увеличился на \(V_0\Delta t\): \[\Delta\vec r = (r + V_0\Delta t)\vec e_1' - r\vec e_1 = r\,\Delta\vec e_1 + V_0\Delta t\,\vec e_1' .\] При \(\Delta t \to 0\) получаем \(\Delta\vec e_1 = \omega\Delta t\,\vec e_2\), поэтому

\[\vec V = \frac{\Delta\vec r}{\Delta t} = V_0\vec e_1 + \omega r\,\vec e_2, \qquad V = \sqrt{V_0^2 + (\omega r)^2} \approx 7{,}2\text{ см/с}.\] Угол с осью \(x\): \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\omega r}{V_0}\), \(\alpha \approx 56^\circ\).

2. Приращение скорости за \(\Delta t\) с учётом \(\Delta\vec e_1 = \omega\Delta t\,\vec e_2\) и \(\Delta\vec e_2 = -\omega\Delta t\,\vec e_1\): \[\Delta\vec V = -\omega^2 r\,\Delta t\,\vec e_1 + 2V_0\omega\,\Delta t\,\vec e_2 .\] Ускорение \(\vec a = -\omega^2 r\,\vec e_1 + 2V_0\omega\,\vec e_2\), его модуль \(a = \omega\sqrt{(2V_0)^2 + (\omega r)^2} = 2\) см/с\(^2\). Угол с осью \(x\) тупой: \(\beta = 180^\circ - \mathrm{arctg}\dfrac{2V_0}{\omega r} \approx 127^\circ\).

3. Траектория — спираль Архимеда. Тангенциальное ускорение есть проекция полного ускорения на направление скорости: \(a_\tau = a\cos(\beta - \alpha)\), нормальное \(a_n = \sqrt{a^2 - a_\tau^2} = a\sin(\beta - \alpha)\). Так как \(a_n = V^2/R\), \[R = \frac{V^2}{a\sin(\beta-\alpha)} \approx 27{,}5\text{ см}.\]