Диоды и две катушки

Сразу после замыкания ключа \(K\) конденсатор будет разряжаться через катушку \(L_2\). Зависимость силы тока \(I_2(t)\) от времени будет иметь вид: \[I_2(t) = V_0\sqrt{\dfrac{C}{L_2}}\sin\omega_{01}t = \dfrac{V_0}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L_1}}\sin\omega_{01}t, \tag{1}\] где \(\omega_{01} = 1/\sqrt{L_2C} = 1/(2\sqrt{L_1C})\) — собственная частота \(L_2C\)-контура. Эта зависимость будет иметь место при \(0 \le t \le \pi\sqrt{L_1C}\).

Рассмотрим теперь характер изменения тока \(I_2\) после того, как он достигнет максимального значения. Для произвольного момента времени положительные направления токов изображены на рис. 193.

Запишем закон Ома для контура, включающего обе катушки: \[L_1\dfrac{dI_1}{dt} + L_2\dfrac{dI_2}{dt} = 0.\] Отсюда следует, что \(L_1I_1 + L_2I_2 = \text{const}\). Константа, очевидно, равна \(V_0\sqrt{L_2C}\). Из первого правила Кирхгофа следует, что \(I_2 = I_1 + I_3\). Для контура, в который входят катушка \(L_2\) и конденсатор \(C\), можно записать: \[L_2\dfrac{dI_2}{dt} + \dfrac{q}{C} = 0.\] Продифференцируем это выражение по времени: \[L_2\dfrac{d^2I_2}{dt^2} + \dfrac{1}{C}\dfrac{dq}{dt} = 0. \tag{2}\] Поскольку \(\dfrac{dq}{dt} = I_3\), а \(I_3 = I_2 - I_1 = I_2 + \dfrac{L_2}{L_1}I_2 - \dfrac{V_0}{L_1}\sqrt{L_2C}\), уравнение (2) можно переписать в следующем виде: \[\dfrac{d^2I_2}{dt^2} + \dfrac{L_1 + L_2}{L_1L_2C}I_2 = \dfrac{V_0}{L_1\sqrt{L_2C}}. \tag{3}\] Собственная частота контура \(\omega_{02} = \sqrt{\dfrac{L_1 + L_2}{L_1L_2C}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{5}{L_1C}}\). Решение уравнения (3) ищем в виде: \[I_2 = A\cos(\omega_{02}t) + B\sin(\omega_{02}t) + \dfrac{V_0\sqrt{L_2C}}{L_1 + L_2}.\] Константы \(A\) и \(B\) находим из начальных условий: при \(t = 0\) сила тока в катушке \(L_2\) максимальна и равна \(V_0\sqrt{\dfrac{C}{L_2}}\), а производная \(\dfrac{dI_2}{dt} = 0\). Окончательно: \[A = V_0\sqrt{\dfrac{C}{L_2}}\dfrac{L_1}{L_1 + L_2},\quad B = 0.\] Отсюда \[I_2(t) = V_0\sqrt{\dfrac{C}{L_2}}\dfrac{L_1}{L_1 + L_2}\left[\cos(\omega_{02}t) + \dfrac{L_2}{L_1}\right]. \tag{4}\] С учётом, что \(L_2 = 4L_1\), получим: \(I_2(t) = \dfrac{V_0}{10}\sqrt{\dfrac{C}{L_1}}\bigl[\cos(\omega_{02}t) + 4\bigr]\).

Зависимость \(I_2(t)\) изображена на рис. 194, где \(t_1 = \pi\sqrt{L_1C}\), \(t_2 = \pi\sqrt{L_1C}\left(1 + \dfrac{1}{\sqrt5}\right)\), \(t_3 = \pi\sqrt{L_1C}\left(1 + \dfrac{2}{\sqrt5}\right)\), \(t_4 = \pi\sqrt{L_1C}\left(1 + \dfrac{3}{\sqrt5}\right)\).