Удар мяча о стенку

Выразите силу, действующую на мяч, через деформацию \(x\): стенка давит на мяч с силой \(p\pi r^2\) на площадке радиуса \(r\), а атмосферное давление снаружи прижимает его к стенке с силой \(p_0\pi r^2\). Получится сила, пропорциональная \(x\), то есть мяч колеблется, а соударение длится половину периода.

\(\tau=\pi\sqrt{\dfrac{m}{2\pi R(p-p_0)}}\approx8\cdot10^{-3}\) с.

Что происходит. Пока мяч прижат к стенке, на него действует сила, пропорциональная деформации: чем сильнее вмят мяч, тем больше площадка контакта и тем сильнее давление воздуха выталкивает его от стенки. Такая сила ведёт себя как сила упругой пружины, поэтому центр мяча совершает гармоническое колебание, а контакт со стенкой длится половину периода: от первого касания до момента, когда деформация снова равна нулю. Главная идея: записать равнодействующую сил давления через \(x\) и найти её «жёсткость».

Обозначения. \(x\) — деформация (смещение центра мяча к стенке от момента касания), \(r\) — радиус площадки контакта, \(p\) — давление воздуха внутри мяча, \(p_0\) — атмосферное давление, \(\tau\) — время соударения. Давление \(p\) считаем абсолютным (в мяче накачано 2 атм при внешних 1 атм).

1. Площадка контакта. Площадка — круг радиуса \(r\). Из прямоугольного треугольника с гипотенузой \(R\) и катетами \(r\) и \(R-x\): \[r^2=R^2-(R-x)^2=2Rx-x^2\approx2Rx ,\] поскольку \(x\ll R\) и \(x^2\ll2Rx\).

2. Сила стенки. Покрышка невесома и не упруга, поэтому воздух внутри мяча давит на неё и через неё на стенку с давлением \(p\). По третьему закону Ньютона сила, с которой стенка действует на мяч, равна по модулю силе давления мяча на стенку и направлена от стенки: \[N=p\,\pi r^2 .\]

3. Сила атмосферы. Если бы давление \(p_0\) действовало на всю замкнутую поверхность мяча, сумма сил давления была бы равна нулю. Но на площадку контакта снаружи давит стенка, а не воздух. Сила давления воздуха на эту площадку была бы направлена от стенки и равна по модулю \(p_0\pi r^2\) (давление умножить на площадь площадки). Раз полная сумма равна нулю, оставшаяся поверхность получает силу, равную ей по модулю и противоположную по направлению: \(p_0\pi r^2\) к стенке.

4. Уравнение движения. Ось \(x\) направим к стенке, начало — положение центра мяча в момент первого касания; центр смещается на \(x\), это и есть деформация. Второй закон Ньютона для мяча в проекции на ось \(x\): сила стенки \(N\) направлена против оси, сила атмосферы — по оси, \[m\ddot x=-N+p_0\pi r^2=-(p-p_0)\,\pi r^2=-(p-p_0)\,2\pi R\,x .\] Получили уравнение гармонических колебаний: \[m\ddot x=-k\,x,\qquad k=2\pi R\,(p-p_0).\] Жёсткость \(k\) не зависит от скорости удара.

5. Время соударения. Решение \(x=x_{\max}\sin\omega t\) с \(\omega=\sqrt{k/m}\) начинается при \(x=0\) (первое касание), и контакт кончается, когда \(x\) снова станет равно нулю — через половину периода (рис. 2): \[\tau=\frac{T}{2}=\pi\sqrt{\frac mk}=\pi\sqrt{\frac{m}{2\pi R\,(p-p_0)}} .\]

6. Число. \(p-p_0=2\text{ атм}-1\text{ атм}=1\text{ атм}\approx1{,}0\cdot10^5\text{ Па}\). Жёсткость \(k=2\pi\cdot0{,}125\text{ м}\cdot1{,}0\cdot10^5\text{ Па}\approx7{,}9\cdot10^4\text{ Н/м}\). Время \[\tau=\pi\sqrt{\frac{0{,}5\text{ кг}}{7{,}9\cdot10^4\text{ Н/м}}}\approx\pi\cdot2{,}5\cdot10^{-3}\text{ с}\approx8\cdot10^{-3}\text{ с}.\]

Обратите внимание. Давление в мяче абсолютное: сила пропорциональна избытку \(p-p_0\) над атмосферным, а не \(p\). Время удара не зависит от скорости мяча — как период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды; от скорости зависит только деформация.

Ответ. \(\tau=\pi\sqrt{\dfrac{m}{2\pi R(p-p_0)}}\approx8\cdot10^{-3}\) с.

Проверка. Размерность: \(R\,(p-p_0)\) — м \(\cdot\) Н/м\(^2\) = Н/м, тогда \(m/k\) — с\(^2\). Предел: \(p\to p_0\) — мяч «спущен», сила \(k\to0\), и время удара растёт, \(\tau\to\infty\). Второй способ — энергия: при деформации \(x\) вытесненный объём мяча равен объёму шарового сегмента \(\approx\pi Rx^2\), работа против разности давлений \((p-p_0)\,\pi Rx^2=\dfrac{kx^2}{2}\) — то же \(k=2\pi R(p-p_0)\). Условие слабого удара: при скорости мяча \(10\) м/с деформация \(x_{\max}=v/\omega\approx10/400=2{,}5\) см \(\ll R=12{,}5\) см.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.