Циклы тепловой машины

Пусть за цикл \(1\)-\(2\)-\(3\)-\(4\) (см. рисунок) совершается работа \(A_0\). Тогда \(\eta_1 = \dfrac{A_0}{Q_{123}}\), где подведённое к газу количество теплоты \(Q_{123} = U_{13} + A_{23}\). Рассмотрим промежуточный цикл I\(^*\) \(4\)-\(3\)-\(6\)-\(5\):

\[\eta_{1^*} = \dfrac{A_0}{Q_{436}},\quad Q_{436} = U_{46} + A_{36}.\] Так как \(\Delta V\) и \(\Delta p\) в циклах I, I\(^*\) и II равны, то и \(A_{23} = A_{36}\). \[U_{13} = C_V(T_3 - T_1),\quad U_{46} = C_V(T_6 - T_4),\] где \(C_V\) — молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме.

Из уравнения Менделеева–Клапейрона (\(pV = RT\)) имеем \[\Delta T = \dfrac{p\Delta V}{R}\quad(\text{при }p = \text{const}).\tag{1}\] Из (1) следует \[T_6 = T_3 + \dfrac{p_2\Delta V}{R},\quad T_4 = T_1 + \dfrac{p_1\Delta V}{R},\] \[T_6 - T_4 = (T_3 - T_1) + \dfrac{\Delta p\Delta V}{R} = (T_3 - T_1) + \dfrac{A_0}{R},\] где \(\Delta p = p_2 - p_1\).

Изменение внутренней энергии на интервале \(4\)-\(6\) равно \[U_{46} = C_V(T_6 - T_4) = C_V\left(T_3 - T_1 + \dfrac{A_0}{R}\right) = U_{13} + \dfrac{C_V}{R}A_0,\] \[\eta_{1^*} = \dfrac{A_0}{U_{46} + A_{23}} = \dfrac{A_0}{Q_{123} + \dfrac{C_V}{R}A_0} = \dfrac{\eta_1}{1 + \dfrac{C_V}{R}\eta_1}.\] (Напомним, что \(\eta_1 = \dfrac{A_0}{Q_{123}}\).)

Из этого выражения получим связь между \(\eta_1\) и \(\eta_{1^*}\): \[\dfrac{1}{\eta_{1^*}} = \dfrac{1}{\eta_1} + \dfrac{C_V}{R}.\tag{2}\] Аналогично для циклов I\(^*\) и II: \[\dfrac{1}{\eta_2} = \dfrac{1}{\eta_{1^*}} + \dfrac{C_V}{R}.\tag{3}\] Исключая \(\eta_{1^*}\) из (2) и (3), находим \[\dfrac{1}{\eta_2} = \dfrac{1}{\eta_1} + \dfrac{2C_V}{R}.\] Используя из условия соотношение \(\eta_1 = \alpha\eta_2\) для КПД, получаем \[\eta_1 = (\alpha - 1)\dfrac{R}{2C_V} = 0{,}2,\] \[\eta_2 = \dfrac{\alpha - 1}{\alpha}\cdot\dfrac{R}{2C_V} = 0{,}125.\]