Электроудар

Шарики — точечные заряды. При отклонении на малый угол сила Кулона в сторону сближения уравновешивается возвращающей силой тяжести и натяжения. Найдите максимум заряда, при котором равновесие ещё возможно.

1. Период колебаний каждого из шариков \(T = 2\pi\sqrt{l/g} = 2{,}0\) с.

2. Шарики считаем точечными зарядами. При отклонении проволок от вертикали на малый угол \(\alpha\) (\(\sin\alpha \approx \tg\alpha \approx \alpha\)) в сторону сближения сила кулоновского притяжения \(F_q = \dfrac{kq^2}{(d - 2\alpha l)^2}\) уравновешивается равнодействующей сил тяжести и натяжения проволок \(F_p = mg\alpha\): \[\frac{kq^2}{(d - 2\alpha l)^2} = mg\alpha \quad\Longrightarrow\quad \frac{kq^2}{mg} = \alpha(d - 2\alpha l)^2 = f(\alpha).\] Функция \(f(\alpha)\) имеет максимум при \(\alpha_0 = \dfrac{d}{6l}\). Этому значению соответствует максимальный заряд шариков: \[kq_{\max}^2 = mg\,\alpha_0(d - 2\alpha_0 l)^2 = \frac{2mgd^3}{27l} \quad\Longrightarrow\quad q_{\max} = \sqrt{\frac{2mgd^3}{27kl}}.\] Для отклонения шариков на угол больше \(\alpha_0\), вплоть до столкновения, требуется меньший заряд, поэтому при сколь угодно незначительном превышении \(q_{\max}\) шарики притягиваются (за время, не превышающее \(T\)), взаимно разряжаются, вновь разлетаются и снова приобретают критический заряд \(q_{\max}\). Разность потенциалов между шариками при \(q_{\max}\) равна минимальному напряжению источника, при котором шарики столкнутся: \[U_{\min} = \varphi_+ - \varphi_- = k\frac{q_{\max}}{r} - \left(-k\frac{q_{\max}}{r}\right) = \frac{2}{r}\sqrt{\frac{2kmgd^3}{27l}} \approx 64{,}6~\text{кВ}.\]

3. Поскольку \(U_{\min} \ll U_0 = 1\) МВ, ток заряда можно считать постоянным, \(I = U_0/R\), и время заряда до \(q_{\max}\): \[t_0 = \frac{q_{\max}}{I} = \frac{U_{\min}\,r}{2k}\cdot\frac{R}{U_0} \approx 18~\text{с}.\]