Растяжение пружины

Для поперечных колебаний возвращающая сила — проекция натяжения обеих половин пружины на поперечное направление. Запишите уравнение движения грузика при малом смещении и сравните периоды продольных и поперечных колебаний.

Период продольных колебаний грузика: \(T_\parallel^2 = 4\pi^2\dfrac{m}{4k}\), где \(m\) — масса грузика. Уравнение движения грузика в поперечном направлении при малом смещении \(\varphi\): \[m\varphi''\,\frac{l}{2} = -2F_{\text{упр}}\varphi = -2k\Delta l\,\varphi \quad\Longleftrightarrow\quad \varphi'' + \frac{4k\Delta l}{ml}\,\varphi = 0.\] Период поперечных колебаний \[T_\perp^2 = 4\pi^2\frac{ml}{4k\Delta l} = 4\pi^2\frac{m}{4k}\left(1 + \frac{l_0}{\Delta l}\right),\] где \(l = l_0 + \Delta l\) — длина растянутой пружины. Отношение периодов: \[\frac{T_\perp^2}{T_\parallel^2} = n^2 = 1 + \frac{l_0}{\Delta l}, \quad\text{откуда}\quad \frac{\Delta l}{l_0} = \frac{1}{n^2 - 1}.\] Поскольку \(\Delta x = \Delta l_2 - \Delta l_1\), \[\frac{\Delta x}{l_0} = \frac{1}{n_2^2 - 1} - \frac{1}{n_1^2 - 1} = \frac{n_1^2 - n_2^2}{(n_2^2 - 1)(n_1^2 - 1)},\] откуда \[l_0 = \frac{(n_2^2 - 1)(n_1^2 - 1)}{n_1^2 - n_2^2}\,\Delta x = 60~\text{см},\] \[\Delta l_1 = \frac{l_0}{n_1^2 - 1} = 4~\text{см}, \qquad \Delta l_2 = \frac{l_0}{n_2^2 - 1} = 7{,}5~\text{см}.\]