Катушка с проводом в магнитном поле

В данной ситуации катушка, очевидно, будет катиться в том направлении, в котором тянут второй конец провода. При этом провод будет наматываться на средний цилиндр и сматываться с крайнего цилиндра. Вследствие этого будет изменяться общая площадь контура, пронизываемого магнитным полем, и в контуре возникнет ЭДС индукции, которую и покажет вольтметр. Изменение магнитного потока через контур удобно разбить на две части: первую, связанную с изменением площади обмотки самой катушки, и вторую, связанную с изменением площади той части контура, которая образована подводящими проводами и меняется за счёт движения катушки. Нужно также иметь в виду, что знак потока через вторую часть контура противоположен знаку потока через первую часть, поскольку направления обхода этих контуров противоположны.

Рассмотрим изменение магнитного потока через обмотку катушки. Точка \(A\) катушки (см. рисунок) движется вдоль стола с постоянной скоростью \(v\).

Так как проскальзывание отсутствует, то скорость \(u\) оси катушки можно найти из соотношения \[\dfrac{v}{R - r} = \dfrac{u}{R},\quad\text{откуда}\quad u = \dfrac{vR}{R - r},\quad\text{а}\quad u - v = \dfrac{vr}{R - r}.\] Пусть за время \(\Delta t\) ось катушки сместилась вдоль стола на расстояние \(\Delta L_1 = u\Delta t\). При этом на средний цилиндр намотается участок провода длиной \(\Delta L_2 = (u - v)\Delta t\), а с крайнего цилиндра смотается участок длиной \(\Delta L_1\). Изменение потока магнитной индукции через обмотку на крайнем цилиндре при этом равно \[\Delta\Phi_1 = B\Delta S_1 = B\pi R^2\cdot\dfrac{\Delta L_1}{2\pi R} = \dfrac{BR}{2}\Delta L_1 = \dfrac{BRu}{2}\Delta t = \dfrac{BR^2v}{2(R - r)}\Delta t,\] а через обмотку на среднем цилиндре — \[\Delta\Phi_2 = B\Delta S_2 = B\pi r^2\cdot\dfrac{\Delta L_2}{2\pi r} = \dfrac{Br}{2}\Delta L_2 = \dfrac{Br(u - v)}{2}\Delta t = \dfrac{Br^2v}{2(R - r)}\Delta t,\] где \(\Delta S_1\) и \(\Delta S_2\) — изменения площадей средней и крайней обмоток соответственно. Поток через обмотку на крайнем цилиндре уменьшается, а через обмотку на среднем — увеличивается.

Поток через площадь, ограниченную подводящими проводами, уменьшается за счёт того, что катушка движется вправо со скоростью \(u\). При этом за время \(\Delta t\) поток уменьшится на величину \[\Delta\Phi_3 = B(R - r)u\Delta t = BRv\Delta t.\] Следовательно, с учётом противоположного направления обхода двух частей общего контура, величина ЭДС индукции, которую покажет вольтметр, равна \[U = -\dfrac{\Delta\Phi_1}{\Delta t} + \dfrac{\Delta\Phi_2}{\Delta t} + \dfrac{\Delta\Phi_3}{\Delta t} = -\dfrac{BR^2v}{2(R - r)} + \dfrac{Br^2v}{2(R - r)} + BRv = \dfrac{vB(R - r)}{2}.\] Задачу можно решить и другим, более простым способом, рассматривая не изменение магнитного потока через контуры, а движение проводников в магнитном поле. Заметим, что при движении катушки нескомпенсированная ЭДС возникает только на участке провода, начинающемся в точке касания катушки и стола, и заканчивающемся в точке \(A\). Это следует из того, что все идущие вверх участки намотанного на катушку провода, кроме указанного, имеют соответствующие и идущие вниз участки по другую сторону вертикальной оси симметрии катушки, и возникающие в этих участках провода ЭДС взаимно компенсируются. Остающийся «нескомпенсированным» участок провода имеет длину \(R - r\), его начало в любой момент времени покоится, а конец движется вдоль стола со скоростью \(v\), причём скорость точек этого воображаемого проводника, лежащих между его началом и концом, равномерно возрастает от 0 до величины \(v\). Поэтому средняя скорость этого проводника направлена горизонтально и равна \(v_{\text{ср}} = v/2\), а возникающая в нём ЭДС равна \[U = B(R - r)v_{\text{ср}} = \dfrac{vB(R - r)}{2}.\]