Грузики на пружинах

Направим координатную ось \(X\) вправо вдоль оси пружин и поместим начало координат посередине между стенками. Тогда после пережигания нитей левый грузик будет двигаться по закону \(x_1(t) = -\dfrac{L}{2}\cos\left(t\sqrt{\dfrac{2k}{m}}\right)\), а правый — по закону \(x_2(t) = \dfrac{L}{2}\cos\left(t\sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right)\) (время \(t\) отсчитывается от момента пережигания нитей). Грузики столкнутся через время \(t_0\), которое определяется из условия \(x_1(t) = x_2(t)\), откуда получаем: \[-\dfrac{L}{2}\cos\left(t_0\sqrt{\dfrac{2k}{m}}\right) = \dfrac{L}{2}\cos\left(t_0\sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right).\] Преобразовывая сумму косинусов в произведение, имеем: \[2\cos\left(\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{2k}{m}} + \sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right)t_0\right)\cdot\cos\left(\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{2k}{m}} - \sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right)t_0\right) = 0,\] откуда \[\cos\left(\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{2k}{m}} + \sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right)t_0\right) = 0\quad\text{или}\quad\cos\left(\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{2k}{m}} - \sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right)t_0\right) = 0.\] Из всех решений этой системы уравнений нужно выбрать наименьшее положительное. Оно получается из условия: \[\dfrac{1}{2}\left(\sqrt{\dfrac{2k}{m}} + \sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right)t_0 = \dfrac{\pi}{2},\] откуда \(t_0 = \dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{2m}{k}}\).

В момент столкновения грузики будут иметь координату \[x_0 = \dfrac{L}{2}\cos\left(t_0\sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right) = \dfrac{L}{2}\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{2m}{k}}\cdot\sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right) = \dfrac{L}{4}.\] Скорости \(v_1\) левого и \(v_2\) правого грузиков перед столкновением будут равны: \[v_1 = \dfrac{L}{2}\sqrt{\dfrac{2k}{m}}\sin\left(t_0\sqrt{\dfrac{2k}{m}}\right) = \dfrac{L}{2}\sqrt{\dfrac{2k}{m}}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{2m}{k}}\cdot\sqrt{\dfrac{2k}{m}}\right) =\] \[= \dfrac{L}{2}\sqrt{\dfrac{2k}{m}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2};\] \[v_2 = -\dfrac{L}{2}\sqrt{\dfrac{k}{2m}}\sin\left(t_0\sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right) = -\dfrac{L}{2}\sqrt{\dfrac{k}{2m}}\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\sqrt{\dfrac{2m}{k}}\cdot\sqrt{\dfrac{k}{2m}}\right) =\] \[= -\dfrac{L}{2}\sqrt{\dfrac{k}{2m}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{v_1}{2}.\] Скорость грузиков \(u\) непосредственно после соударения может быть найдена из закона сохранения импульса при абсолютно неупругом ударе: \[u = \dfrac{mv_1 + 2mv_2}{m + 2m} = 0.\] Таким образом, скорость грузиков после удара равна нулю, а удлинения пружин в этот момент времени отличны от нуля и равны \(x_0 = L/4\). Следовательно, после столкновения слипшиеся грузики будут совершать гармонические колебания с амплитудой \(x_0\) и с частотой \(\omega = \sqrt{\dfrac{k + 2k}{m + 2m}} = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\). В процессе этих колебаний максимальная скорость грузиков будет равна \[V_{\max} = \omega x_0 = \dfrac{L}{4}\sqrt{\dfrac{k}{m}}.\]