Бросок над полусферой

Минимальная скорость маленького тела в момент его падения на плоскость достигается при броске этого тела с минимальной начальной механической энергией. Нужно правильно выбрать высоту точки броска и скорость тела — ясно, что оптимальная траектория должна почти касаться полусферы в некоторой (пока неизвестной) точке (см. рисунок).

Обозначим начальную скорость тела через \(v\), скорость в точке касания — через \(u\), высоту точки броска над плоскостью — через \(H\). Пусть траектория почти касается полусферы на высоте \(h = R\sin\alpha\), где \(\alpha\) — угол между горизонтом и радиусом полусферы, проведённым в точку касания. Ясно, что вектор \(\vec u\) направлен по касательной к полусфере, то есть перпендикулярно указанному радиусу, и составляет такой же угол \(\alpha\) с вертикалью. Горизонтальная компонента скорости тела во время полёта постоянна, отсюда \(u = v/\sin\alpha\). Время полёта до точки касания \(t = R\cos\alpha/v\), за это время вертикальная компонента скорости возрастает на \(gt\), тогда \(u\cos\alpha = gt = gR\cos\alpha/v\). Из написанных соотношений получаем: \(v^2 = gR\sin\alpha\).

При движении тела от точки броска до точки касания среднее значение вертикальной проекции его скорости равно \((u\cos\alpha)/2\). Тогда \[H - h = \dfrac{u\cos\alpha}{2}t = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{v}{\sin\alpha}\cdot\cos\alpha\cdot\dfrac{R\cos\alpha}{v} = \dfrac{R\cos^2\alpha}{2\sin\alpha}.\] Отсюда \[H = R\sin\alpha + \dfrac{R\cos^2\alpha}{2\sin\alpha}.\] Запишем теперь выражение для полной механической энергии тела массой \(m\) в точке броска: \[E = mgH + \dfrac{mv^2}{2} = mgR\left(\sin\alpha + \dfrac{\cos^2\alpha}{2\sin\alpha}\right) + \dfrac{mgR\sin\alpha}{2} =\] \[= \dfrac{mgR}{2}\cdot\dfrac{3\sin^2\alpha + \cos^2\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{mgR}{2}\left(2\sin\alpha + \dfrac{1}{\sin\alpha}\right) =\] \[= \dfrac{mgR}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{2}\sin\alpha + \dfrac{1}{\sqrt{2}\sin\alpha}\right).\] В последних скобках стоит сумма обратных друг другу величин, которая, как известно, не может быть меньше 2. Минимальное значение этой суммы достигается тогда, когда её слагаемые одинаковы и равны 1. Таким образом, \(\sin\alpha_{\min} = 1/\sqrt{2}\), и минимальная энергия соответствует углу касания \(45^\circ\) и равна \(E_{\min} = \sqrt{2}mgR\). В момент падения тела на плоскость его потенциальная энергия равна нулю. Следовательно, согласно закону сохранения механической энергии, минимальная скорость тела \(V\) при падении определяется из соотношения: \(mV^2/2 = E_{\min} = \sqrt{2}mgR\), откуда \(V = \sqrt{2\sqrt{2}gR}\).

Отметим, что высота, с которой должен производиться бросок, равна \(H = \dfrac{3R}{2\sqrt{2}} \approx 1{,}06R\), то есть чуть больше радиуса полусферы.