Изображение палочки в линзе

Пусть фокусное расстояние линзы \(F\), длина палочки \(l\), длина её изображения \(L\), причём \(l \ll a\), \(L \ll b\), где \(b\) — расстояние от изображения палочки до линзы. Тогда в соответствии с формулой тонкой линзы, для положений одного из концов палочки и его изображения имеем: \[\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{F}.\qquad(1)\] Если второй конец палочки находится ближе к линзе, то можно записать: \[\dfrac{1}{a - l} + \dfrac{1}{b + L} = \dfrac{1}{F},\quad\text{или}\quad \dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{1 - (l/a)} + \dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{1 + (L/b)} = \dfrac{1}{F}.\] Поскольку \(1/(1 + x) \approx 1 - x\) при \(x \ll 1\), то последнее соотношение можно переписать в виде: \[\dfrac{1}{a}\left(1 + \dfrac{l}{a}\right) + \dfrac{1}{b}\left(1 - \dfrac{L}{b}\right) \approx \dfrac{1}{F}.\qquad(2)\] Вычитая из (2) соотношение (1), получаем: \(\dfrac{l}{a^2} - \dfrac{L}{b^2} \approx 0\), откуда продольное увеличение линзы \(k = \dfrac{L}{l} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^2\), и \(b = \sqrt{k}\,a\). Подставляя это выражение для \(b\) в соотношение (1), получаем \[F = \dfrac{\sqrt{k}\,a}{\sqrt{k} + 1}.\] При новых расстояниях от палочки до линзы \(a_1 = a + \Delta a\), от изображения до линзы \(b_1 = \dfrac{a_1F}{a_1 - F}\) и новой длине изображения \(L_1\) для нового коэффициента увеличения имеем: \[k_1 = \dfrac{L_1}{l} = \left(\dfrac{b_1}{a_1}\right)^2 = \left(\dfrac{F}{a_1 - F}\right)^2 = \left(\dfrac{\dfrac{\sqrt{k}\,a}{\sqrt{k} + 1}}{a + \Delta a - \dfrac{\sqrt{k}\,a}{\sqrt{k} + 1}}\right)^2 = \left(\dfrac{\sqrt{k}\,a}{(a + \Delta a)(\sqrt{k} + 1) - \sqrt{k}\,a}\right)^2.\] Отсюда искомое отношение длин изображений палочки равно \[n = \dfrac{L_1}{L} = \dfrac{k_1}{k} = \left(\dfrac{a}{(a + \Delta a)(\sqrt{k} + 1) - \sqrt{k}\,a}\right)^2 =\] \[= \dfrac{1}{\left(\left(1 + \dfrac{\Delta a}{a}\right)(\sqrt{k} + 1) - \sqrt{k}\right)^2} = \dfrac{1}{\left(1 + \dfrac{\Delta a}{a}(\sqrt{k} + 1)\right)^2} = \dfrac{1}{4},\] то есть длина изображения уменьшится в 4 раза.