Спрятанный диск

Расмотрим твердый деревянный цилиндр радиуса \(r_1\) и толщиной \(h_1\). Где-то внутри деревянного цилиндра древесина заменена на металлический диск радиуса \(r_2\) и толщиной \(h_2\). Металлический диск установлен так, что его ось симметрии \(B\) параллельна оси симметрии \(S\) деревянного цилиндра. Диск находится на одинаковых расстояниях от верхнего и нижнего оснований деревянного цилиндра. Обозначим расстояние между осями \(S\) и \(B\) как \(d\). Плотность древесины \(\rho_1\), плотность металла \(\rho_2 > \rho_1\). Суммарная масса деревянного цилиндра c металлическим диском равна \(M\). В этом задании поместим деревянный цилиндр на плоскость так, что он может свободно вращаться направо-налево. На рис. 1 показаны виды цилиндра с торца и сверху.

Цель этого задания — определить размеры и место расположения металлического диска.

Считайте, что следующие величины заданы:

\[r_1, \,\, h_1, \,\, \rho_1, \,\, \rho_2, \,\, M, \,\, g. \quad \quad (1)\] Цель — определить \(r_2\), \(h_2\) и \(d\) путем косвенных измерений.

Рис. 1.

a) вид с торца цилиндра

b) вид сверху

Расстояние между центром масс всей системы \(C\) и осью симметрии деревянного цилиндра \(S\) равно \(b\). Для того, чтобы определить это расстояние, рассмотрим следующий эксперимент: деревянный цилиндр установлен на горизонтальной плоскости так, что он находится в устойчивом равновесии. Медленно наклоним плоскость на угол \(\Theta\) (см. рис. 2). Из-за наличия трения деревянный цилиндр может свободно вращаться без проскальзывания. Он чуть-чуть скатится вниз, а затем придет в состояние устойчивого равновесия после поворота на угол \(\phi\), который можно измерить.

Рис. 2. Цилиндр на наклонной плоскости

A1. Получите выражение для \(b\) как функцию величин \((1)\), угла \(\phi\) и угла наклона плоскости \(\Theta\).

С этого момента считаем, что величина \(b\) известна.

Рис. 3. Подвешенная система

Теперь мы хотим измерить момент инерции \(I_S\) системы относительно оси симметрии \(S\). Для этого закрепим деревянный цилиндр за его ось симметрии с помощью жесткого стержня. Затем повернем его относительно положения равновесия на небольшой угол \(\varphi\) и отпустим его. Схема эксперимента показана на рис. 3. Окажется, что \(\varphi\) меняется периодически с периодом \(T\).

A2. Получите уравнение движения, используя \(\varphi\) в качестве переменной. Выразите момент инерции цилиндра \(I_S\) относительно его оси симметрии \(S\) через \(T\), \(b\) и известные величины \((1)\). Считайте, что отклонение от положения равновесия невелико, так что угол \(\varphi\) можно считать малым.

Используя результаты измерений из пунктов A1 и A2, определим геометрические размеры металлического диска и его положение внутри деревянного цилиндра.

A3. Получите выражение для расстояния \(d\) как функцию \(b\) и величин \((1)\). Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных \(r_2\) и \(h_2\), т.к. они будут вычислены в пункте A5.

A4. Получите выражение для момента инерции \(I_S\) как функцию \(b\) и известных величин \((1)\). Вы можете также включить в ваше выражение в качестве переменных \(r_2\) и \(h_2\), т.к. они будут вычислены в пункте A5.

A5. Используя полученные выше результаты, запишите выражения для \(h_2\) и \(r_2\) через \(b\), \(T\) и известные величины \((1)\). Вы можете выразить \(h_2\) как функцию \(r_2\).