Нелинейная динамика в электрических цепях
8/10Введение
Бистабильные нелинейные полупроводниковые элементы (например, тиристоры) широко используются в электронике в качестве переключателей и генераторов электромагнитных колебаний. С помощью тиристоров обычно управляют переменными токами в силовой электронике, например преобразуют мегаваттные переменные токи в постоянные. Бистабильные элементы также могут быть модельными системами для изучения самоорганизации в физике (это рассматривается в части B этой задачи), в биологии (часть C) и в других областях современной нелинейной динамики.
В этой задаче мы изучим неустойчивости и нетривиальные динамические свойства электрических цепей, содержащих элементы с нелинейными вольт-амперными характеристиками. Мы также рассмотрим возможные применения подобных схем в электронике и в моделировании биологических систем.
Часть А. Стационарные состояния и неустойчивости (3.0 балла)
На рисунке 1 показана так называемая S-образная вольт-амперная характеристика нелинейного элемента \(\mathrm X\). В диапазоне напряжений между \(U_\mathrm h = 4.00~В\) (удерживаемое напряжение) и \(U_\mathrm{th} = 10.0~В\) (пороговое напряжение) эта вольт-амперная характеристика многозначна. График на рисунке 1 является ломанной (каждая ветвь представляет собой отрезок). Если верхнюю ветвь графика продлить, то она пройдет через начало координат. Это приближение хорошо описывает реальные тиристоры.
Рис. 1. Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента \(\mathrm X\)
A1. С помощью графика определите сопротивление \(R_{\text{on}}\) элемента \(\mathrm X\) на верхней ветви вольт-амперной характеристики и \(R_{\text{off}}\) на нижней ветви соответственно. Средняя ветвь описывается уравнением
\[I = I_0 - \frac{U}{R_{\text{int}}}. \tag{1}\]Найдите значения параметров \(I_0\) и \(R_{\text{int}}\).
Элемент \(\mathrm X\) соединен последовательно (рисунок 2) с резистором \(R\), катушкой индуктивности \(L\) и идеальным источником напряжения \(\mathcal{E}\). Если электрическая цепь находится в стационарном состоянии, то сила тока постоянна во времени, \(I(t) = \text{const}\).
Рис. 2. Электрическая цепь с элементом \(\mathrm X\), резистором \(R\), катушкой индуктивности \(L\) и источником напряжения \(\mathcal{E}\)
A2. Сколько возможных стационарных состояний может иметь электрическая цепь, изображенная на рисунке 2, при некотором заданном значении \(\mathcal{E}\) и при \(R = 3.00~\Omega\)? Каким будет ответ при \(R = 1.00~\Omega\)?
A3. Пусть в электрической цепи, показанной на рисунке 2, \(R = 3.00~\Omega\), \(L = 1.00~мкГн\) и \(\mathcal{E} = 15.0~В\). Определите значения сила тока \(I_{\text{stationary}}\) и напряжения \(V_{\text{stationary}}\) на нелинейном элементе \(X\) в стационарном состоянии.
Пусть электрическая цепь на рисунке 2 находится в стационарном состоянии с \(I(t) = I_{\text{stationary}}\). Стационарное состояние называется устойчивым, если после небольшого изменения тока (увеличения или уменьшения) значение тока возвращается к стационарному состоянию. Однако, если система продолжает уходить от стационарного состояния, то оно называется неустойчивым.
A4. Используйте численные значения заданные в А3 и изучите стабильность стационарного состояния с \(I(t) = I_{\text{stationary}}\). Является ли стационарное состояние устойчивым или неустойчивым?
Бистабильные нелинейные элементы в физике: радиопередатчик (5.0 баллов)
В этой части мы исследуем новую схему электрической цепи (рисунок 3). Нелинейный элемент \(\mathrm X\) соединен с конденсатором емкостью \(C = 1.00~мкФ\) параллельно. Этот блок включен последовательно с резистором \(R = 3.00~\Omega\) и идеальным источником постоянного напряжения \(\mathcal{E} = 15.0~В\). Оказывается, что в этой цепи возникают колебания. За время одного периода колебаний свойства элемента \(\mathrm X\) «перескакивают» по вольт-амперной характеристике с одной ветви на другую.
Рис. 3. Электрическая цепь, состоящая из элемента \(\mathrm X\), конденсатора \(C\), резистора \(R\) и источника напряжения \(\mathcal{E}\)
B1. Нарисуйте цикл одного колебания на вольт-амперной характеристике, в том числе, укажите направление колебания (по часовой или против часовой стрелки). Обоснуйте свой ответ с помощью уравнений и схем.
B2. Найдите формулы для времён \(t_1\) и \(t_2\), в течение которых система находится на каждой из ветвей вольт-амперной характеристики во время периода колебаний. Определите их численные значения. Найдите численное значение периода колебаний \(T\), полагая, что временем, необходимым для скачкообразного перехода между ветвями вольт-амперной характеристики, можно пренебречь.
B3. Оцените среднюю мощность \(P\), рассеянную нелинейным элементом в течение одного колебания. Достаточно привести порядок величины.
Электрическая цепь, показанная на рисунке 3, может использоваться для создания радиопередатчика. Для этого элемент \(\mathrm X\) подключается к одному из концов антенны длины \(s\). Антенна – это длинный прямой провод. Противоположный конец провода свободный. В антенне образуется стоячая электромагнитная волна. Скорость электромагнитной волны в антенне такая же, как и в вакууме. Передатчик настроен на основную гармонику системы с периодом \(T\) (из пункта B2).
B4. Каково оптимальное значение \(s\), если считать, что оно не может быть больше \(1~ км\)?
Часть C. Бистабильные нелинейные элементы в биологии: нейристор (2.0 балла)
В этой части задачи мы рассмотрим применение бистабильных нелинейных элементов к моделированию биологических процессов. Нейрон в человеческом мозге обладает следующим свойством: при возбуждении внешним сигналом он совершает одно колебание, а затем возвращается в исходное состояние. Эта свойство называется возбудимостью. Благодаря этому свойству импульсы могут распространяться в сети связанных нейронов, которые образуют нервные системы. Полупроводниковый чип, предназначенный для имитации возбудимости и распространения импульса, называется нейристором.
Попробуем смоделировать простой нейристор, используя электрическую схему с исследованным ранее нелинейным элементом \(\mathrm X\). Для этого напряжение \(\mathcal{E}\) в схеме на рисунке 3 уменьшается до \(\mathcal{E}' = 12.0~В\). Колебания прекращаются и система переходит в свое стационарное состояние. Затем напряжение быстро увеличивается до \(\mathcal{E} = 15.0~В\) и спустя некоторое время \(\tau\) (\(\tau < T\)) возвращается обратно к \(\mathcal{E}'\) (рисунок 4). Оказывается, что есть некоторое критическое значение \(\tau_{crit}\), такое, что поведение системы качественно отличается при \(\tau < \tau_{crit}\) при \(\tau > \tau_{crit}\).
Рис. 4. Напряжение источника как функция времени
C1. Схематически нарисуйте графики временной зависимости тока \(I_\mathrm X(t)\) через нелинейный элемент \(\mathrm X\) для \(\tau < \tau_{\text{crit}}\) и для \(\tau > \tau_{\text{crit}}\).
C2. Найдите выражение для критического времени \(\tau_{\text{crit}}\) и его численное значение, при котором происходит изменение поведения системы.
C3. Является ли схема нейристором при \(\tau = 1.00 \cdot 10^{-6}~с\)?
▶Показать разборСкрыть разбор
ОтветA1: \(R_{\text{off}} = 10.0 \, \Omega\), \(R_{\text{on}} = 1.00 \, \Omega\), \(R_{\text{int}} = 2.00 \, \Omega\), \(I_0 = 6.00~А\); A2: При \(R=3.00~\Omega\) – одно стационарное состояние При \(R=1.00~\Omega\) – 1, 2 или 3 стационарных состояния; A3: \[I_\mathrm{stationary}=3.00~А,\quad U_\mathrm{stationary}=6.00~В\]; A4: Стационарное состояние устойчиво; B2: \[t_\mathrm{off}=\dfrac{R_\mathrm{off}R}{R_\mathrm{off}+R}C\ln\frac{U_\mathrm{off}-U_\mathrm h}{U_\mathrm{off}-U_\mathrm{th}}=3.71\cdot10^{-6}~с\] \[t_\mathrm{on}=\dfrac{R_\mathrm{on}R}{R_\mathrm{on}+R}C\ln\frac{U_\mathrm{th}-U_\mathrm {on}}{U_\mathrm{h}-U_\mathrm{on}}=2.41\cdot10^{-6}~с\] \[T=6.12\cdot10^{-6}~с\]; B3: \[P\sim20~Вт\]; B4: \[\lambda=459~м\]; C2: \[\tau_\mathrm{crit}=\frac{R_\mathrm{off}R}{R_\mathrm{off}+R}C\ln\frac{U_\mathrm{off}-\tilde U}{U_\mathrm{off}-U_\mathrm{th}}=9.36\cdot10^{-7}~с\]
РешениеA1. Снимаем значения с ВАХ:
Ответ:
\(R_{\text{off}} = 10.0 \, \Omega\), \(R_{\text{on}} = 1.00 \, \Omega\), \(R_{\text{int}} = 2.00 \, \Omega\), \(I_0 = 6.00~А\)
A2. Закон Кирхгофа для цепи:\[\mathcal E=IR+U.\]Тогда в стационарном состоянии напряжение \(U\) на нелинейном элементе и ток через него связаны как:\[I=\frac{\mathcal E-U}{R}.\]Стационарные состояния определяются пересечением этой зависимости с ВАХ нелинейного элемента.
При \(R=3.00~\Omega\) может существовать только одно пересечение этих кривых.
Ответ:
При \(R=3.00~\Omega\) – одно стационарное состояние
При \(R=1.00~\Omega\) при разных значениях ЭДС могут быть 1, 2 или 3 пересечения.
Ответ:
При \(R=1.00~\Omega\) – 1, 2 или 3 стационарных состояния
A3. Стационарное состояние находится на промежуточной ветви ВАХ, поэтому координаты точки пересечения можно найти как:\[I_\mathrm{stationary}=\frac{\mathcal E-R_\mathrm{int}I_0}{R-R_\mathrm{int}}=3.00~А,\quad U_\mathrm{stationary}=R_\mathrm{int}(I_0-I_\mathrm{stationary})=6.00~В.\]
Ответ:
\[I_\mathrm{stationary}=3.00~А,\quad U_\mathrm{stationary}=6.00~В\]
A4. Второй закон Кирхгофа для цепи в нестационарном состоянии:\[\mathcal E=IR+U_\mathrm X+L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=IR+(I_0-I)R_\mathrm{int}+L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}\implies \\\implies L\frac{\mathrm dI}{\mathrm dt}=\mathcal E-I_0R_\mathrm{int}-(R-R_\mathrm{int})I=-(R-R_\mathrm{int})(I-I_\mathrm{stationary}).\]Таким образом, ток будет экспоненциально релаксировать к стационарному значению, а значит состояние будет устойчивым.
Ответ:
Стационарное состояние устойчиво
B1. Ответ:
B2. Что на верхней, что на нижней ветке ВАХ цепь ведёт аналогично \(RC\)-контуру с конденсатором ёмкостью \(C\) и резистором с сопротивлением \(\dfrac{R_\mathrm{on/off}R}{R_\mathrm{on/off}+R}\) и источником напряжения с ЭДС:\[U_\mathrm{on/off}=\frac{R_\mathrm{on/off}}{R_\mathrm{on/off}+R}\mathcal E.\]Таким образом, зависимость напряжения от времени на каждой из ветвей будет задаваться выражением:\[U_\mathrm X(t)=U_\mathrm{on/off}+(U_\mathrm{th/h}-U_\mathrm{on/off})\exp\left[-\dfrac{R_\mathrm{on/off}+R}{R_\mathrm{on/off}RC}t\right].\]Отсюда можно найти время, которое система провела на нижней ветви:
Ответ:
\[t_\mathrm{off}=\dfrac{R_\mathrm{off}R}{R_\mathrm{off}+R}C\ln\frac{U_\mathrm{off}-U_\mathrm h}{U_\mathrm{off}-U_\mathrm{th}}=3.71\cdot10^{-6}~с\]
А также время, которое система провела на верхней ветви:
Ответ:
\[t_\mathrm{on}=\dfrac{R_\mathrm{on}R}{R_\mathrm{on}+R}C\ln\frac{U_\mathrm{th}-U_\mathrm {on}}{U_\mathrm{h}-U_\mathrm{on}}=2.41\cdot10^{-6}~с\]
Период равен сумме этих времён:\[T=t_\mathrm{on}+t_{\mathrm{off}}=6.12\cdot10^{-6}~с\]
Ответ:
\[T=6.12\cdot10^{-6}~с\]
B3. Поскольку напряжение на нижней ветви ВАХ намного меньше напряжения на верхней, в рамках оценки можно пренебречь потерями энергии на нижней ветви. При этом на верхней ветви потери можно примерно оценить, исходя из среднего арифметического напряжений \(U_\mathrm h\) и \(U_\mathrm{th}\):\[E=\frac{1}{R_\mathrm{on}}\left(\frac{U_\mathrm h+U_\mathrm{th}}2\right)^2t_\mathrm{on}=1.18\cdot10^{-4}~Дж.\]Таким образом, мощность будет равна:\[P\sim\frac{E}{T}=19.3~Вт\]
Ответ:
\[P\sim20~Вт\]
Примечание. Точный расчёт даёт ответ:\[P=17.29~Вт,\]поэтому приведённая оценка довольно близка к правде.
B4. Длина радиоволны равна \(\lambda=cT=1.82\cdot10^3~м\). Оптимальную длину имеет антенна длиной \(\left(\dfrac k2-\dfrac14\right)\lambda,~k\in\mathbb N\) (на границе антенны – узел тока, в начале – пучность). Единственное оптимальное значение меньше \(1~км\) – это \(\lambda/4=459~м\).
Ответ:
\[\lambda=459~м\]
C1. При \(\tilde{\mathcal E}=12.0~В\) стационарное состояние нелинейного элемента будет находиться на нижней ветви ВАХ. Равновесное напряжение будет равно:\[\tilde U=\frac{R_{\mathrm{off}}}{R+R_\mathrm{off}}\tilde{\mathcal E}=9.23~В.\]Когда напряжение возрастает до \(\mathcal E=15.0~В\), система движется вдоль нижней ветви ВАХ в сторону увеличения напряжения.
Если система не достигает \(U_\mathrm{th}\) с моменту \(\tau\), она возвращается в исходное состояние по нижней ветви.
Если система достигает \(U_\mathrm{th}\) до момента \(\tau\), она перескакивает на верхнюю ветвь ВАХ. Пока система находится на верхней ветви ВАХ, напряжение успевает вернуться к исходному (т.к. \(\tau < T\)), и система возвращается в стационарное состояние, сделав одно колебание.
Ответ:
1. Система приближается к новому стационарному состоянию.\(\\$2. Система возвращается в исходное состояние. \textit{Ответ:} \begin{ris} \includegraphics{3-r-10.png} \end{ris} 3. Система приближается к новому стационарному состоянию.\)
\(4. Система при напряжении\)U_\mathrm{th}\(перескакивает на верхнюю ветвь ВАХ до момента времени\)t_0+\tau\(.\)
\(5. Система движется по верхней ветви ВАХ в сторону уменьшения напряжения.\)
\(6. Система перепрыгивает на нижнюю ветвь ВАХ в точку с напряжением\)U_\mathrm h\(, меньшим стационарного.\)
\(7. Система возвращается в исходное состояние. \textbf{C2.} Время, которое требуется системе для достижения критического напряжения\)U_\mathrm{th}\(: \textit{Ответ:} M17 \textbf{C3.} Поскольку\)\tau > \tau_\mathrm{crit}$, система совершит колебание, то есть будет вести себя как нейристор.Ответ:
Да, система является нейристором
Перевод: pho.rs.
Похожие задачи
- Колебания тока в нелинейном резисторе МОШ 1960/1986, 8-11 кл.
- Нелинейный прибор и индуктивность МОШ 1988/89, 10 кл.
- Цепочка с нелинейным элементом ВсОШ 1998/99, 11 кл.
- Теплота на нелинейном элементе ВсОШ 2000/01, 11 кл.
- Нелинейные элементы МОШ 2006/07, 10 кл.
- Нелинейный элемент ВсОШ 2011/12, 10 кл.