Вода под ледниковым щитом

Ледниковый щит — это толстый слой льда (толщиной до нескольких километров), лежащий на грунте и простирающийся по горизонтали на десятки или сотни километров. В этой задаче мы рассматриваем таяние льда и поведение воды под «тёплым» ледниковым щитом, т. е. ледниковым щитом при температуре плавления. Можно считать, что в таких условиях лёд создаёт изменения давления как вязкая жидкость, но деформируется хрупко, главным образом путём вертикального перемещения. Для этой задачи даны следующие сведения.

a) (0,5 балла) Рассмотрим толстый ледниковый щит в месте со средним тепловым потоком из недр Земли. Используя данные таблицы, вычислите толщину \(d\) слоя льда, тающего за год, и запишите ответ в отведённое для этого окошко на листе ответов.

b) (3,5 балла) Рассмотрим теперь верхнюю поверхность ледникового щита. Грунт под ледниковым щитом имеет угол наклона \(\alpha\). Верхняя поверхность щита наклонена под углом \(\beta\), как показано на рис. 2.1. Вертикальная толщина льда при \(x = 0\) равна \(h_0\). Следовательно, нижнюю и верхнюю поверхности ледникового щита можно описать уравнениями \[y_1 = x\tan\alpha, \quad y_2 = h_0 + x\tan\beta. \tag{2.1}\]

Рис. 2.1. Поперечное сечение ледникового щита с плоской поверхностью, лежащего на наклонном плоском грунте. \(S\) — поверхность, \(G\) — грунт, \(I\) — ледниковый щит.

Выведите выражение для давления \(p\) у основания ледникового щита как функции горизонтальной координаты \(x\) и запишите его на листе ответов.

Сформулируйте математически условие, связывающее \(\beta\) и \(\alpha\), при котором вода в слое между ледниковым щитом и грунтом не будет течь ни в одном направлении. Покажите, что это условие имеет вид \(\tan\beta = s\tan\alpha\). Найдите коэффициент \(s\) и запишите результат в буквенном виде на листе ответов.

Прямая \(y_1 = 0{,}8\,x\) на рис. 2.2 изображает поверхность земли под ледниковым щитом. Вертикальная толщина \(h_0\) при \(x = 0\) равна 2 км. Считайте, что вода у основания находится в равновесии.

На листе ответов с миллиметровкой нарисуйте прямую \(y_1\) и добавьте прямую \(y_2\), изображающую верхнюю поверхность льда. Укажите на рисунке, какая прямая какая.

Рис. 2.2. Поперечное сечение «тёплого» ледникового щита, лежащего на наклонном грунте, с водой у основания в равновесии. \(G\) — грунт, \(I\) — ледниковый щит.

c) (1 балл) Внутри большого ледникового покрова на горизонтальном грунте, имевшего первоначально постоянную толщину \(D = 2{,}0\) км, довольно внезапно в результате таяния льда образуется водяное тело в форме конуса высотой \(H = 1{,}0\) км и радиусом \(r = 1{,}0\) км (рис. 2.3). Будем считать, что оставшийся лёд приспосабливается к этому только вертикальным перемещением.

Покажите аналитически на чистом листе ответов и графически на листе ответов с миллиметровкой форму поверхности ледникового щита после того, как образовался водяной конус и установилось гидростатическое равновесие.

Рис. 2.3. Вертикальное сечение через среднюю плоскость водяного конуса внутри ледникового щита. \(S\) — поверхность, \(W\) — вода, \(G\) — грунт, \(I\) — ледниковый щит.

d) (5 баллов) Во время ежегодной экспедиции международная группа учёных исследует «тёплый» ледниковый щит в Антарктиде. Обычно эта область — широкое плато, но на этот раз они обнаруживают глубокое кратероподобное углубление в форме перевёрнутого (вершиной вниз) конуса глубиной \(h\), равной 100 м, и радиусом \(r\), равным 500 м (рис. 2.4). Толщина льда в этой области равна 2000 м.

После обсуждения учёные приходят к выводу, что, скорее всего, под ледниковым щитом произошло небольшое вулканическое извержение. Небольшое количество магмы (расплавленной горной породы) внедрилось в основание ледникового щита, затвердело и остыло, растопив некоторый объём льда. Учёные пытаются следующим образом оценить объём внедрения (интрузии) и понять, что стало с талой водой.

Считайте, что лёд перемещался только вертикально. Считайте также, что магма вначале была полностью расплавлена и имела температуру \(1200^\circ\)C. Для простоты считайте далее, что интрузия имела форму конуса с круговым основанием, расположенного точно под коническим углублением на поверхности. Время подъёма магмы было мало по сравнению со временем теплообмена в этом процессе. Считается, что тепловой поток был направлен в основном вертикально, так что объём льда, растаявшего к любому моменту времени, ограничен конической поверхностью с центром над центром магматической интрузии.

При этих предположениях таяние льда происходит в два этапа. Сначала вода не находится в равновесии по давлению у поверхности магмы и поэтому утекает. Утекающую воду можно считать имеющей температуру \(0^\circ\)C. Затем устанавливается гидростатическое равновесие, и вода накапливается над интрузией, а не утекает.

Когда установится тепловое равновесие, требуется определить следующие величины. Запишите ответы на листе ответов.

1. Высоту \(H\) вершины водяного конуса, образовавшегося под ледниковым щитом, относительно первоначального основания ледникового щита.

2. Высоту \(h_1\) интрузии.

3. Полную массу \(m_{tot}\) образовавшейся воды и массу \(m'\) утёкшей воды.

На листе ответов с миллиметровкой постройте в масштабе формы интрузии горной породы и оставшегося водяного тела. Используйте систему координат, предложенную на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Вертикальное центральное сечение конического углубления в «тёплом» ледниковом щите. \(S\) — поверхность, \(G\) — грунт, \(I\) — ледниковый щит, \(M\) — интрузия горной породы (магмы), \(W\) — вода. Обратите внимание: рисунок выполнен НЕ в масштабе.