Физика планет

Для части A сравните давления на одной глубине по обе стороны хребта и используйте линейный профиль температуры в коре. Для части B луч в слоистой среде со скоростью, растущей с глубиной, описывается законом Снеллиуса; путь луча — дуга окружности.

A-1. Пусть \(h'\) — высота столба масла (рис. 1). Тогда давление на глубине \(h\) под поверхностью воды должно быть \(p_h=\rho_0 g h=\rho_{\text{oil}} g h'\), откуда \(h'=\dfrac{\rho_0}{\rho_{\text{oil}}}h\). Горизонтальная сила на пластину \(F_x=F_1-F_0\), где сила от новой жидкости \(F_1=\dfrac{\rho_{\text{oil}} g h'}{2}\cdot h'w\), а сила от воды \(F_0=\dfrac{\rho_0 g h}{2}\cdot hw\). Объединяя все уравнения, получаем \[F_x=\left(\dfrac{\rho_0}{\rho_{\text{oil}}}-1\right)\dfrac{\rho_0 g h^2 w}{2}.\] Эта сила действует на правую пластину вправо.

Рисунок к решению. На рисунке: air — воздух; water — вода; w (normal to the page) — \(w\) (перпендикулярно плоскости рисунка).

A-2. Рассмотрим прямоугольный элемент коры. Так как соотношение \(l(T)=l_1\left[1-k_l\dfrac{T_1-T}{T_1-T_0}\right]\) выполняется для всех трёх измерений твёрдого тела, его объём \(V\) удовлетворяет \[V=V_1\left(1-k_l\,\dfrac{T_1-T}{T_1-T_0}\right)^3,\] где \(V_1\) — объём при \(T=T_1\). Если масса элемента равна \(m\), то плотность \[\rho(T)=\dfrac{m}{V}=\rho_1\left(1-k_l\,\dfrac{T_1-T}{T_1-T_0}\right)^{-3}.\] Так как \(k_l\ll 1\), это приближается выражением \(\rho(T)\approx \rho_1\left(1+3k_l\dfrac{T_1-T}{T_1-T_0}\right)\), откуда \(k=3k_l\).

A-3. Так как мантия ведёт себя как жидкость в гидростатическом равновесии, давление \(p(x,z)\) на уровне \(z=h+D\) одинаково для всех \(x\). Поэтому \[p(0,h+D)=p(\infty,h+D).\] Аналогично \(p(0,0)=p(\infty,0)\). Значит, изменение давления между \(z=0\) и \(z=\infty\) одинаково и при \(x=0\), и при \(x=\infty\). На оси хребта \[p(0,h+D)-p(0,0)=\rho_1 g(h+D),\] а далеко от оси \[p(\infty,h+D)-p(\infty,0)=\rho_0 g h+\int_h^{h+D}\rho\bigl(T(\infty,z)\bigr)\,g\,dz.\] Так как температура коры на \(x=\infty\) линейно зависит от глубины, с учётом граничных условий по температуре \[T(\infty,z)=T_0+(T_1-T_0)\dfrac{z-h}{D}.\] Из всех уравнений и формулы плотности из условия \[\rho_1 g(h+D)=\rho_0 g h+\int_h^{h+D}\rho_1\left(1+k\,\dfrac{T_1-T_0-(T_1-T_0)\frac{z-h}{D}}{T_1-T_0}\right)g\,dz,\] откуда непосредственно получаем \[D=\dfrac{2}{k}\left(1-\dfrac{\rho_0}{\rho_1}\right)h.\]

A-4. Горизонтальная сила на половину хребта равна разности сил давления при \(x=0\) и \(x=\infty\): \[F=L\int_0^{h+D}p(0,z)\,dz-L\int_0^{h}p(\infty,z)\,dz.\] Из предыдущего пункта давление при \(x=0\) равно \(p(0,z)=p(0,0)+\rho_1 g z\), а при \(x=\infty\) равно \(p(\infty,z)=p(\infty,0)+\rho_0 g z\). Эти соотношения объединяются в \[F=L\int_0^{h+D}\bigl(p(0,0)+\rho_1 g z\bigr)\,dz-L\int_0^{h}\bigl(p(\infty,0)+\rho_0 g z\bigr)\,dz.\] После интегрирования и с учётом \(p(0,0)=p(\infty,0)\): \[F=L\,p(0,0)\,D+L\rho_1 g\dfrac{(h+D)^2}{2}-L\rho_0 g\dfrac{h^2}{2}.\] Так как \(k\ll 1\) и \(D\propto k^{-1}\), главным членом является член с \(D^2\propto k^{-2}\). Подставляя результат пункта A-3, получаем \[F\approx\dfrac{2gLh^2(\rho_1-\rho_0)^2}{k^2\rho_1}.\]

A-5. Метод 1: анализ размерностей. Время \(\tau\) по-видимому зависит только от плотности коры \(\rho_1\), её удельной теплоёмкости \(c\), теплопроводности \(\kappa\) и толщины \(D\). Запишем \[\tau=A\,\rho_1^{\alpha}c^{\beta}\kappa^{\gamma}D^{\delta},\] где \(A\) — безразмерная постоянная. Степени \(\alpha\)–\(\delta\) найдём из анализа размерностей. Обозначим L — длину, M — массу, T — время, \(\Theta\) — температуру. Тогда размерности \(\tau\), \(\rho_1\), \(c\), \(\kappa\) и \(D\) равны T, ML\(^{-3}\), L\(^2\)T\(^{-2}\Theta^{-1}\), MLT\(^{-3}\Theta^{-1}\) и L соответственно. Из равенства степеней длины, массы, времени и температуры получаем систему \[0=-3\alpha+2\beta+\gamma+\delta,\qquad 0=\alpha+\gamma,\qquad 1=-2\beta-3\gamma,\qquad 0=-\beta-\gamma.\] Её решение: \(\alpha=\beta=1\), \(\gamma=-1\), \(\delta=2\). Следовательно, \[\tau=A\,\dfrac{c\,\rho_1 D^2}{\kappa}.\] Метод 2: масштабный анализ. Рассмотрим кусок коры площадью \(S\). Тепловой поток, который должен пройти через кору, по порядку величины равен \(Q\sim c\rho_1 S D\Delta T\), где \(\Delta T=T_1-T_0\). С другой стороны, закон теплопроводности даёт \(\kappa\dfrac{\Delta T}{D}\sim\dfrac{Q}{S\tau}\). Из этих двух соотношений \(c\rho_1 S D\Delta T\sim S\tau\kappa\dfrac{\Delta T}{D}\), откуда \(\tau\) не зависит от \(\Delta T\) и \[\tau\sim\dfrac{c\rho_1 D^2}{\kappa}.\]

B-1. Сейсмические волны в этой задаче описываются лучевой теорией. Их распространение описывается законом преломления Снеллиуса \[n(0)\sin\theta_0=n(z)\sin\theta,\] где показатель преломления равен \[n(z)=\dfrac{c}{v(z)}=\dfrac{c}{v_0\left(1+\dfrac{z}{z_0}\right)},\] а \(c\) — скорость сейсмической волны в среде с показателем преломления \(n=1\). Из этих соотношений \[v_0\left(1+\dfrac{z}{z_0}\right)\sin\theta_0=v_0\sin\theta.\] Метод 1. Так как это описывает дугу окружности, при \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) имеем \(z=R-R\sin\theta_0\) (рис. 2), откуда \[\left(1+\dfrac{R-R\sin\theta_0}{z_0}\right)\sin\theta_0=1,\] и радиус окружности \(R=\dfrac{z_0}{\sin\theta_0}\). Из простой геометрии \[x_1(\theta_0)=2R\cos\theta_0=2z_0\cot\theta_0,\] т.е. \(A=2z_0\) и \(b=1\).

Рисунок 2 к решению. На рисунке: \(\theta_0\) — начальный угол; \(R\) — радиус окружности; \(x\) и \(z\) — оси координат.

Метод 2. Дифференцируя \(v_0\left(1+\dfrac{z}{z_0}\right)\sin\theta_0=v_0\sin\theta\) неявно, получаем \[\dfrac{dz}{z_0}\sin\theta_0=\cos\theta\,d\theta.\] Бесконечно малый элемент пути луча \(dl\) связан с изменением вертикальной координаты соотношением \(dz=dl\cos\theta\), откуда \[dl=\dfrac{z_0}{\sin\theta_0}d\theta.\] Это уравнение дуги окружности радиуса \(R=\dfrac{z_0}{\sin\theta_0}\). Также можно получить ответ, записав \[\cot\theta=\dfrac{dz}{dx}=\dfrac{dz}{d\theta}\dfrac{d\theta}{dx}.\] Первую производную исключаем с помощью закона Снеллиуса: \[\cot\theta=\dfrac{z_0\cos\theta}{\sin\theta_0}\dfrac{d\theta}{dx},\] что интегрируется в \[x_1=-\dfrac{z_0}{\sin\theta_0}\int_{\text{start}}^{\text{end}}d\cos\theta=\dfrac{2z_0\cos\theta_0}{\sin\theta_0},\] где снова использован закон Снеллиуса: в точке выхода на поверхность \(\cos\theta=-\cos\theta_0\).

B-2. В двумерном случае \(\dfrac{E}{\pi}d\theta_0\) — энергия, переносимая лучами, испущенными в интервале \([\theta_0,\theta_0+d\theta_0)\). С другой стороны, энергия, переносимая лучами, приходящими в \([x,x+dx)\), равна \(\varepsilon\,dx\). Поэтому \[\varepsilon=\dfrac{E}{\pi}\left|\dfrac{d\theta_0}{dx}\right|.\] Используя результат пункта B-1, \[\dfrac{dx}{d\theta_0}=-\dfrac{Ab}{\sin^2(b\theta_0)}=-Ab\left(1+\cot^2(b\theta_0)\right)=-\dfrac{b\,(A^2+x^2)}{A}.\] Следовательно, \[\varepsilon(x)=\dfrac{EA}{\pi b\,(A^2+x^2)}=\dfrac{2Ez_0}{\pi\,(4z_0^2+x^2)}.\] Функция нарисована на рисунке 3 решения.

Рисунок 3 к решению — График функции \(\varepsilon(x)\). Значение на \(x=0\) равно \(\dfrac{E}{2\pi z_0}\), функция монотонно убывает.

B-3. Обозначим \(x_-=x_1\left(\theta_0-\dfrac{\delta\theta_0}{2}\right)\) и \(x_+=x_1\left(\theta_0+\dfrac{\delta\theta_0}{2}\right)\). С точностью до главного порядка по \(\delta\theta_0\) имеем \(x_-\approx x_+\approx x_1(\theta_0)\).

При каждом отражении сигнала горизонтальное расстояние между точками, где сходятся края сигнала, увеличивается на \(|x_+-x_-|=x_--x_+\). Двигаясь по положительной оси \(x\), эти зоны расширяются, пока не перекроются. Если это происходит после \(N\) отражений, то \[N\approx\dfrac{x_1(\theta_0)}{x_--x_+},\] где приближённое равенство переходит в точное при \(\delta\theta_0\to 0\).

Место, где зоны начинают перекрываться, находится на \(x_{\max}=Nx_1(\theta_0)\). Поэтому \[x_{\max}=\dfrac{x_1(\theta_0)^2}{x_1\left(\theta_0-\dfrac{\delta\theta_0}{2}\right)-x_1\left(\theta_0+\dfrac{\delta\theta_0}{2}\right)}.\] Так как \(\delta\theta_0\ll\theta_0\), \[x_1\left(\theta_0-\dfrac{\delta\theta_0}{2}\right)-x_1\left(\theta_0+\dfrac{\delta\theta_0}{2}\right)\approx-\dfrac{dx_1(\theta_0)}{d\theta_0}\delta\theta_0=\dfrac{Ab}{\sin^2(b\theta_0)}\delta\theta_0.\] Объединяя полученные соотношения и подставляя выражение для \(x_1(\theta_0)\), \[x_{\max}=\dfrac{A\cos^2(b\theta_0)}{b\,\delta\theta_0}=\dfrac{2z_0\cos^2\theta_0}{\delta\theta_0}.\]