Составной цилиндр

Минимальная сила удержания заслонки равна \(F_0\) плюс вес столба воды над ней, делённый на площадь нижней трубы. Сравните приращения силы с приращениями объёма воды в каждой из труб.

1. (Графический способ) Допустим, что после того, как в составной цилиндр налили \(V\) литров воды, высота столба воды оказалась равной \(h\). Минимальная сила, необходимая для удержания заслонки в прижатом состоянии, равна: \[F = F_0 + (\rho g S_1)\cdot h,\] где \(\rho\) — плотность воды, \(g\) — ускорение свободного падения.

Зависимости \(h(V)\) и \(F(V)\) для каждого из отрезков труб линейны. Для первой (нижней) трубы справедливо соотношение: \[\left(\dfrac{\Delta F}{\Delta V}\right)_1 = \rho g.\] Для второй (верхней) трубы справедливо соотношение: \[\left(\dfrac{\Delta F}{\Delta V}\right)_2 = \dfrac{\rho g S_1\Delta h}{S_2\Delta h} = \rho g\,\dfrac{S_1}{S_2}.\]

Построим график зависимости \(F(V)\) (рис. 18).

Из него находим, что отношение угловых коэффициентов \[\left(\dfrac{\Delta F}{\Delta V}\right)_2 : \left(\dfrac{\Delta F}{\Delta V}\right)_1 = \dfrac{S_1}{S_2} = 3,\] а отношение \[\dfrac{\Delta F_1}{\Delta F_2} = \dfrac{\rho g H_1}{\rho g H_2} = \dfrac{H_1}{H_2} = \dfrac{1{,}5}{2{,}5} = \dfrac{3}{5}.\]

2. (Аналитический способ) Рассмотрим ситуацию после наливания первой порции воды. По условию задачи \[S_1h_1 = V_0.\] Воспользуемся законом Паскаля: \[F_0 + \rho gh_1S_1 = 2F_0.\] Отсюда: \[F_0 = \rho gh_1S_1.\]

Теперь рассмотрим ситуацию после наливания второй порции воды. Судя по изменению давления на заслонку, можно предположить, что вода полностью заполнила нижнюю трубу и частично — верхнюю: \[H_1S_1 + h_2S_2 = 2V_0.\] Согласно закону Паскаля: \(F_0 + \rho g(H_1 + h_2)S_1 = 4F_0\). Отсюда: \[3F_0 = \rho g(H_1 + h_2)S_1.\]

Наконец, рассмотрим ситуацию после наливания третьей порции воды: \[2V_0 + \dfrac{V_0}{3} = H_1S_1 + H_2S_2.\] Согласно закону Паскаля: \(F_0 + \rho g(H_1 + H_2)S_1 = 5F_0\). Отсюда: \[4F_0 = \rho g(H_1 + H_2)S_1.\]

Решая полученную систему уравнений, найдём: \[S_1 : S_2 = 3 : 1, \qquad H_1 : H_2 = 3 : 5.\]