Циклический теплообмен

Запишите уравнение теплового баланса при каждом переносе бруска. Покажите, что разность температур воды в сосудах после цикла пропорциональна разности до цикла, и найдите коэффициент пропорциональности.

1. Рассмотрим процессы теплообмена в первом цикле: \[c_1t_1 + ct_2 = (c_1 + c)t'_1, \quad \text{откуда} \quad t'_1 = \dfrac{c_1t_1 + ct_2}{c_1 + c},\] \[c_2t_2 + ct'_1 = (c_2 + c)t'_2, \quad \text{откуда} \quad t'_2 = \dfrac{c_2t_2 + ct'_1}{c_2 + c}.\] Здесь \(t'_1\) и \(t'_2\) — температуры воды в сосудах по окончании первого цикла. \[\Delta t' = t'_2 - t'_1 = \dfrac{c_2(t_2 - t'_1)}{c_2 + c} = \dfrac{c_1c_2(t_2 - t_1)}{(c_1 + c)(c_2 + c)}.\] \[\Delta t' = A(t_2 - t_1), \qquad A = \dfrac{c_1c_2}{(c_1 + c)(c_2 + c)} < 1.\] Таким образом, за каждый цикл разность температур в сосудах уменьшается в \(1/A\) раз. При \(c_1 : c_2 : c = 4 : 5 : 1\) \[A = \dfrac{2}{3}, \qquad \dfrac{1}{A} = \dfrac{3}{2}, \qquad \left(\dfrac{1}{A}\right)^n \ge N.\] Подбором (на калькуляторе) легко получить: \(n_{\min} = 8\).

2. После большого числа циклов температуры бруска и воды в сосудах будут одинаковыми. Установившуюся температуру можно найти из условия теплового баланса: \[c_1t_1 + c_2t_2 + ct_2 = (c_1 + c_2 + c)t_0,\] откуда \[t_0 = \dfrac{2t_1 + 3t_2}{5}.\]