Проволочный куб

Подумайте, какие узлы куба имеют одинаковые потенциалы из соображений симметрии: резистор между такими узлами не пропускает тока и его можно удалить из схемы.

1. Обратим внимание на то, что резистор \(R_{48}\) замкнут накоротко. Следовательно, по нему ток не течёт, и его можно удалить из схемы без нарушения распределения токов и напряжений во всех других рёбрах. При этом схема сильно упрощается и её можно изобразить в виде комбинации параллельно и последовательно соединённых резисторов (рис. 17).

Из приведённой эквивалентной схемы видно, что резисторы \(R_{87}\), \(R_{56}\) и \(R_{43}\) включены между узлами 1 и 7 параллельно. Также параллельно этим резисторам включена цепочка, состоящая из резисторов \(R_{12}\), \(R_{26}\) и \(R_{23}\). Сопротивление этой цепочки \(R'\) равно: \[R' = R + \dfrac{R \cdot R}{R + R} = \dfrac{3}{2}R.\] Таким образом, полное сопротивление \(R_{AB}\) определим из соотношения: \[\dfrac{1}{R_{AB}} = \dfrac{3}{R} + \dfrac{2}{3R} = \dfrac{11}{3R},\] откуда следует, что \[R_{AB} = \dfrac{3}{11}R; \qquad I_{AB} = \dfrac{U}{R_{AB}} = \dfrac{11}{3}\dfrac{U}{R}.\]

2. Из эквивалентной схемы видно, что сила тока будет максимальна в ребре 1–5. \[I_{\max} = I_{15} = I_{587} + I_{56} = \dfrac{U}{R} + \dfrac{U}{R} = \dfrac{2U}{R}.\]

3. Максимальная тепловая мощность будет выделяться на тех резисторах, в которых сила тока максимальна. Таких резисторов три: \(R_{87}\), \(R_{56}\) и \(R_{43}\). В каждом из них сила тока составляет \(I = \dfrac{U}{R}\), а мощность \(P_{\max} = \dfrac{U^2}{R}\).

4. При переносе контакта из узла 7 в узел 2 изменяются токи во всех резисторах. С помощью новой эквивалентной схемы можно получить: \[R_{AC} = \dfrac{5}{11}R; \qquad I_{AC} = \dfrac{11}{5}\dfrac{U}{R}.\]