Шайба и горка

Какие величины сохраняются при взаимодействии шайбы с горкой на гладкой поверхности? Что следует из равенства модулей скоростей после спуска, если скорости направлены в разные стороны?

1. Пусть \(m\) и \(M\) — массы шайбы и горки соответственно, \(v_0\) — начальная скорость шайбы, \(v_1\) и \(v_2\) — проекции скоростей шайбы и горки на направление \(\vec v_0\) после соскальзывания шайбы. Запишем законы сохранения импульса и энергии: \[mv_0 = mv_1 + Mv_2, \qquad \dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{mv_1^2}{2} + \dfrac{Mv_2^2}{2}.\] Из этих уравнений следует: \[v_1 = \dfrac{m - M}{m + M}v_0, \qquad v_2 = \dfrac{2m}{m + M}v_0.\] Шайба и горка после соскальзывания шайбы движутся с одинаковыми по модулю скоростями в противоположных направлениях (\(v_2 = -v_1\)), следовательно, должно выполняться условие: \((m - M) = -2m\), откуда следует: \(M = 3m\).

2. Рассмотрим теперь момент времени, когда шайба достигла максимальной высоты \(H\). В этот момент скорости шайбы и горки одинаковы и равны \(v\). Запишем для этого момента законы сохранения импульса и энергии: \[mv_0 = (m + M)v, \qquad \dfrac{mv_0^2}{2} = mgH + \dfrac{m + M}{2}v^2.\] Решая совместно эти уравнения, получим: \[\dfrac{mv_0^2}{2}\left(1 - \dfrac{m}{m + M}\right) = mgH,\] откуда \[\dfrac{mgH}{mv_0^2/2} = \dfrac{M}{m + M} = \dfrac{3}{4}.\]