Физика спина

Все вещества во Вселенной обладают, помимо массы и заряда, такой фундаментальной характеристикой, как спин. Спин — это внутренний момент количества движения, которым обладают частицы. Хотя для полного описания спина необходимо привлечение аппарата квантовой механики, физику спина можно понять, используя обычный классический формализм. В данной задаче изучается влияние магнитного поля на спин с использованием его классической аналогии.

Классическое уравнение моментов для спина выглядит так: \[\vec M=\frac{d\vec L}{dt}=\vec\mu \times \vec B\] В этом уравнении момент импульса \(\vec L\) представляет собой спин частицы, \(\vec \mu\) — магнитный момент частицы, \(\vec B\) — индукция магнитного поля. Спин частицы связан с ее магнитным моментом уравнением \[\vec \mu=-\gamma\vec L\] где \(\gamma\) — гиромагнитное отношение.

Часть А. Ларморовская прецессия

Докажите, что величина магнитного момента \(\mu\) под действием магнитного поля \(\vec B\) всегда остается постоянной. Также покажите, что в частном случае постоянного магнитного поля угол между \(\vec \mu\) и \(\vec B\) постоянен.

(Подсказка: Вы можете использовать свойства векторных произведений).

Индукция магнитного поля \(\vec B\) образует угол \(\phi\) с магнитным моментом частицы \(\vec \mu\). Из-за момента сил, создаваемого магнитным полем, магнитный момент \(\vec \mu\) вращается вокруг поля \(\vec B\), что известно, как ларморовская прецессия. Определите частоту \(\omega_0\) ларморовской прецессии магнитного момента вокруг вектора \(\vec B=B_0\vec k\), где \(\vec k\) — единичный вектор.

Часть B. Вращающаяся система координат

В данной части задачи выберем систему координат \(S'=(x',y',z')\), которая вращается с угловой скоростью \(\omega \vec k\), как это видно наблюдателю, находящемуся в лабораторной системе координат \(S=(x,y,z)\), где оси \(x',y',z'\) совпадают с осями \(x, y, z\) в момент времени \(t = 0\). Любой вектор \(\vec A=A_x\vec i+A_y\vec j+A_z\vec k\) в лабораторной системе координат может быть представлен во вращающейся системе координат \(S'\) как \(\vec A=A'_x\vec i'+A'_y\vec j'+A'_z\vec k'\). Производная этого вектора по времени

\[\frac{d\vec A}{dt}= \left(\frac{dA'_x}{dt}\vec i'+\frac{dA'_y}{dt}\vec j'+\frac{dA'_z}{dt}\vec k'\right)+\left(A_x'\frac{d\vec i'}{dt}+A_y'\frac{d\vec j'}{dt}+A_z'\frac{d\vec k'}{dt}\right)\]\[\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{lab}=\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{rot}+\left(\omega\vec k \times \vec A\right)\]где \(\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{lab}\) — производная по времени вектора \(\vec A\) в лабораторной системе координат и \(\left(\frac{d\vec A}{dt}\right)_{rot}\) — производная этого вектора по времени во вращающейся системе координат.

Для всех вопросов из данной части, ответы относятся к вращающейся системе координат \(S'\).

Покажите, что изменение магнитного момента со временем описывается уравнением \[\left(\frac{d\vec \mu} {dt}\right)_{rot}=\left(\gamma\vec\mu\times\vec B_{eff}\right)\] где \(\vec B_{eff}= \vec B - \frac\omega \gamma \vec k'\) — эффективная индукция магнитного поля.

Чему равна новая частота прецессии \(\Delta\), выраженная через \(\omega_0\) и \(\omega\), для \(\vec B=B_0\vec k\)?

Теперь рассмотрим случай магнитного поля, изменяющегося со временем. Для этого помимо постоянного магнитного поля мы также приложим вращающееся магнитное поле \(\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t+\vec j \sin \omega t)\), так что \(\vec B=B_0\vec k + \vec b(t)\). Покажите, что новая ларморовская частота прецессии магнитного момента равна

\[\Omega= \gamma\sqrt{\left(B_0 - \frac{\omega}{\gamma}\right)^2}+b^2\]

Вместо того, чтобы прикладывать поле \(\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t+\vec j \sin \omega t)\) теперь приложим поле \(\vec b(t)=b(\vec i \cos \omega t-\vec j \sin \omega t)\) которое вращается в противоположном направлении. В этом случае

\[\vec B=B_0\vec k+b(\vec i \cos \omega t-\vec j \sin \omega t)\] Чему теперь равно эффективное магнитное поле \(\vec B_{eff}\) (выраженное через единичные вектора \(\vec i', \vec j', \vec k')\)? Чему равно среднее по времени поле \(\overline{\vec B_{eff}}\), (вспомните, что \(\overline{\cos2\pi t/T}=\overline{\sin2\pi t/T}=0\)?

Часть C. Осцилляции Раби

Для ансамбля из \(N\) частиц, находящегося под действием сильного магнитного поля, спин может иметь два квантовых состояния: «вверх» и «вниз». Следовательно, полная заселенность состояний «спин вверх» \(N_{\uparrow}\) и «спин вниз» \(N_{\downarrow}\) описывается уравнением \[N_{\uparrow} +N_{\downarrow} = N\]Разность заселенностей состояний «спин вверх» и «спин вниз» приводит к макроскопическому намагничиванию вдоль оси: \[M=(N_{\uparrow} -N_{\downarrow})\mu=N\mu_z\]В реальном эксперименте обычно используются два магнитных поля: сильное смещающее магнитное поле \(B_0\vec k\) и поле, колеблющееся с амплитудой \(2b\) и перпендикулярное смещающему полю (\(b\ll B_0\)). Изначально прилагается только сильное смещающее поле, вынуждающее все частицы перейти в состояние «спин вверх» (при \(t = 0\) вектор \(\mu\) ориентирован в направлении \(z\)). Затем включается поле, колеблющееся с частотой ларморовской прецессии \(\omega_0\), т.е. \(\omega=\omega_0\). Другими словами, после момента времени \(t = 0\) суммарное поле описывается уравнением \[\vec B(t)= B_0\vec k + 2b\vec i \cos \omega t\]

Покажите, что во вращающейся системе координат \(S'\) эффективное поле может быть аппроксимировано как \[\vec B_{eff} \approx b\vec i'\] что известно как аппроксимация вращающейся волной. Чему равна частота прецессии \(\Omega\) в системе координат \(S'\)?

Определите угол \(\alpha\), который вектор \(\vec \mu\) образует с полем \(\vec B_{eff}\). Также докажите, что намагниченность изменяется со временем как \[M(t)= N\mu(\cos \Omega t)\]

При воздействии магнитного поля, описанного выше, определите относительную заселенность состояний «спин вверх» \(P _{\uparrow}=N_{\uparrow}/N\) и «спин вниз» \(P _{\downarrow}=N_{\downarrow}/N\) как функции времени. Нанесите на один график \(P _{\uparrow}\) и \(P _{\downarrow}\) в зависимости от времени \(t\). Изменяющаяся со временем заселенность состояний «спин вверх» и «спин вниз» называется осцилляциями Раби.

Часть D. Несовместимость измерений

Спин является векторной величиной. Из-за его квантовых свойств мы не можем измерить все его компоненты одновременно (т.е. мы можем знать \(|\vec \mu|\) и \(\mu_z\), как в случаях, приведенных выше; но не можем знать одновременно \(|\vec \mu|\), \(\mu_x\), \(\mu_y\) и \(\mu_z\)). В данной задаче мы произведем вычисления на основе принципа неопределенности Гейзенберга (используя соотношение \(\Delta p_q \Delta q\ge \hbar\)) для того, чтобы показать, как эти измерения несовместимы друг с другом.

Рассмотрим горячий тигель — источник атомов серебра, имеющий небольшое отверстие. Атомы вылетают из отверстия вдоль направления «\(-y\)» (см. рисунок внизу) и попадают в неоднородное в пространстве поле \(\vec B_1\). Поле \(\vec B_1\) имеет сильную компоненту в направлении оси \(z\). В нем атомы с различными магнитными моментами \(\mu_z=\pm\gamma\hbar\) расщепляются вдоль направления \(z\). На расстоянии \(D\) от тигля расположен экран \(SC_1\), который пропускает только атомы со спином вверх (не пропускаются атомы со спином вниз). Поэтому сразу за экраном атомы имеют спин, направленный вверх. За экраном атомы входят в область неоднородного поля \(\vec B_2\), где на них действует сила \[F_x=\mu_x C\]Поле \(\vec B_2\) имеет сильную компоненту в направлении оси \(x\), вдоль которой атомы имеют магнитные моменты \(\mu_x=\pm\gamma \hbar\).

Покажите, что для того, чтобы определить \(\mu_x\), наблюдая расщепление в направлении оси \(x\), должно выполняться следующее условие: \[\frac{1}{\hbar}|\mu_x|\Delta x C t\gg 1\] где \(t\) — время после прохождения экрана \(SC_1\) и \(\Delta x\) — расхождение пучков на экране \(SC_1\) .

Сразу после экрана атомы имеют спины, направленные вверх, где \(\mu_z=\gamma\hbar =|\mu_x|\). Это означает, что атомы будут прецессировать с угловыми частотами, покрывающими диапазон значений \(\Delta \omega\) по отношению к компоненте \(x\) поля \(\vec B_2\), конкретно \(B_{2x}= B_0+Cx\). Докажите, что разброс угла прецессии \(\Delta \omega t\) велик и мы не можем измерять одновременно \(\mu_x\) и \(\mu_z\). Другими словами, измерение \(\mu_x\) разрушает информацию о \(\mu_z\).