Реактивная трубка

Реактивная сила здесь пропорциональна скорости трубки. Найдите коэффициент пропорциональности из закона сохранения энергии для потока воздуха, а затем проинтегрируйте второй закон Ньютона по пути \(S\).

Трубка с нагревателем представляет собой реактивный двигатель, принцип работы которого аналогичен водомётному катеру: из-за нагрева воздух на выходе из трубки движется быстрее, чем на входе, и возникает реактивная сила, разгоняющая трубку. В системе отсчёта трубки воздух с небольшой скоростью продувается через трубу с нагревателем.

Пренебрегая изменением кинетической энергии потока, запишем первое начало термодинамики для массы \(m\) газа, протекающего через трубку в единицу времени. Подведённая за единицу времени теплота \(q\) расходуется на изменение внутренней энергии и работу против внешнего давления: \[q = (U_2 + PV_2) - (U_1 + PV_1) = \frac{m}{\mu}\,C_p\,\Delta T,\] где \(C_V = \frac{5}{2}R\), \(C_p = C_V + R = \frac{7}{2}R\), \(T_2\) и \(T_1\) — температуры воздуха на выходе и на входе.

Если скорость холодного воздуха \(v\), а изменение скорости потока \(\Delta v\), то реактивная сила \[F_p = m\,\Delta v = \frac{m v\,\Delta T}{T} = \frac{\mu q}{C_p T}\,v = \beta v, \qquad \beta = \frac{\mu q}{C_p T} = 6{,}8 \cdot 10^{-5}~\text{кг/с}.\] Сила тяги пропорциональна скорости трубки. По второму закону Ньютона \(M\,dv = F_p\,dt = \beta v\,dt = \beta\,dS\), откуда \(M\,\Delta v = \beta S\) и \[v = v_0 + \frac{\beta S}{M} = 9~\text{см/с}.\]