Восприятие электрических сигналов

Ток от маленького шара растекается сферически симметрично. Поле в точке \(P\) — суперпозиция полей двух источников разного знака (как поле диполя). Сопротивление среды между шарами определяется в основном областью вблизи шаров; дальше — задача о согласовании нагрузки.

1. Когда точечный источник тока \(I_s\) находится в бесконечной изотропной среде, вектор плотности тока на расстоянии \(r\) от точки равен \[\vec j = \frac{I_s}{4\pi r^3}\vec r.\] (Без векторной записи — минус 0,5 балла.)

2.

На рисунке: prey — жертва.

Поскольку удельные сопротивления тела жертвы и окружающей морской воды одинаковы, т. е. граница вокруг жертвы исключается, два шара можно считать находящимися в бесконечной изотропной среде с удельным сопротивлением \(\rho\). Когда маленький шар создаёт ток \(I_s\), плотность тока на расстоянии \(r\) от центра шара также равна \[\vec j = \frac{I_s}{4\pi r^3}\vec r.\] Удельное сопротивление морской воды \(\rho\), поэтому напряжённость поля в точке \(r\) \[\vec E(\vec r) = \rho\vec j = \frac{\rho I_s}{4\pi r^3}\vec r.\] В модели имеются два маленьких шара. Один из них находится под положительным потенциалом относительно другого, поэтому ток \(I_s\) течёт от положительно заряженного шара к отрицательно заряженному. Расстояние между ними \(l_s\). Напряжённость поля в точке \(P(0, y)\): \[\vec E_p = \vec E_+ + \vec E_- = \frac{\rho I_s}{4\pi}\left[\frac{1}{\left(\left(\dfrac{l_s}{2}\right)^2 + y^2\right)^{3/2}}\left(-\frac{l_s}{2}i + yj\right) + \frac{1}{\left(\left(\dfrac{l_s}{2}\right)^2 + y^2\right)^{3/2}}\left(-\frac{l_s}{2}i - yj\right)\right] = \frac{\rho I_s}{4\pi}\left[\frac{l_s(-i)}{\left(\left(\dfrac{l_s}{2}\right)^2 + y^2\right)^{3/2}}\right],\] \[\vec E_p \approx \frac{\rho I_sl_s}{4\pi y^3}(-i)\quad\text{при } l_s \ll y.\]

3. Напряжённость поля на оси между двумя шарами источника: \[\vec E(x) = \frac{\rho I_s}{4\pi}\left(\frac{1}{\left(x - \dfrac{l_s}{2}\right)^2} + \frac{1}{\left(x + \dfrac{l_s}{2}\right)^2}\right)(-i).\] Разность потенциалов, создающая заданный ток \(I_s\): \[V_s = \Delta V = V_+ - V_- = -\int_{-l_s/2 + r_s}^{l_s/2 - r_s}\vec E(x)\cdot d\vec x = -\frac{\rho I_s}{4\pi}\int\left(\frac{1}{\left(x - \dfrac{l_s}{2}\right)^2} + \frac{1}{\left(x + \dfrac{l_s}{2}\right)^2}\right)(-i)\cdot(i\,dx)\] \[= \frac{\rho I_s}{4\pi}\left[\frac{1}{-2+1}\left(\frac{1}{\dfrac{l_s}{2} - r_s - \dfrac{l_s}{2}} - \frac{1}{-\dfrac{l_s}{2} + r_s - \dfrac{l_s}{2}}\right) + \frac{1}{-2+1}\left(\frac{1}{\dfrac{l_s}{2} - r_s + \dfrac{l_s}{2}} - \frac{1}{-\dfrac{l_s}{2} + r_s + \dfrac{l_s}{2}}\right)\right]\] \[= \frac{\rho I_s}{4\pi}\left(\frac{2}{r_s} - \frac{2}{l_s - r_s}\right) = \frac{2\rho I_s}{4\pi}\left(\frac{l_s - r_s - r_s}{(l_s - r_s)r_s}\right) = \frac{\rho I_s}{2\pi r_s}\left(\frac{l_s - 2r_s}{l_s - r_s}\right),\] \[V_s = \Delta V \approx \frac{\rho I_s}{2\pi r_s}\quad\text{при } l_s \gg r_s.\] Сопротивление между двумя шарами источника: \[R_s = \frac{V_s}{I_s} = \frac{\rho}{2\pi r_s}.\] Мощность, выделяемая источником: \[P = I_sV_s = \frac{\rho I_s^2}{2\pi r_s}.\]

4.

\(V\) — разность потенциалов между шарами детектора, обусловленная электрическим полем, созданным жертвой, \(R_m\) — внутреннее сопротивление, обусловленное окружающей морской водой. \(V_d\) и \(R_d\) — соответственно разность потенциалов между шарами детектора и сопротивление чувствительного элемента внутри хищника, \(i_d\) — ток в замкнутой цепи.

На рисунке: predator — хищник, prey — жертва.

Аналогично сопротивлению между двумя шарами источника, сопротивление среды с удельным сопротивлением \(\rho\) между шарами детектора радиусом \(r_d\) каждый равно \[R_m = \frac{\rho}{2\pi r_d}.\] Поскольку \(l_d\) много меньше \(y\), напряжённость электрического поля между шарами детектора можно считать постоянной: \[E = \frac{\rho I_sl_s}{4\pi y^3}.\] Следовательно, разность потенциалов в среде между шарами детектора \[V = El_d = \frac{\rho I_sl_sl_d}{4\pi y^3}.\] Разность потенциалов на шарах детектора: \[V_d = V\frac{R_d}{R_d + R_m} = \frac{\rho I_sl_sl_d}{4\pi y^3}\frac{R_d}{R_d + \dfrac{\rho}{2\pi r_d}}.\] Мощность, передаваемая от источника к детектору: \[P_d = i_dV_d = \frac{V}{R_d + R_m}V_d = \left(\frac{\rho I_sl_sl_d}{4\pi y^3}\right)^2\frac{R_d}{\left(R_d + \dfrac{\rho}{2\pi r_d}\right)^2}.\]

5. \(P_d\) максимальна, когда максимальна величина \[R_t = \frac{R_d}{\left(R_d + \dfrac{\rho}{2\pi r_d}\right)^2} = \frac{R_d}{(R_d + R_m)^2}.\] Следовательно, \[\frac{dR_t}{dR_d} = \frac{1(R_d + R_m)^2 - R_d2(R_d + R_m)}{(R_d + R_m)^4} = 0,\qquad (R_d + R_m) - 2R_d = 0,\] \[R_d^{optimum} = R_m = \frac{\rho}{2\pi r_d}.\] Максимальная мощность: \[P_d^{maximum} = \left(\frac{\rho I_sl_sl_d}{4\pi y^3}\right)^2\frac{\pi r_d}{2\rho} = \frac{\rho(I_sl_sl_d)^2r_d}{32\pi y^6}.\]