Георадар (ground-penetrating radar, GPR) используется для обнаружения и определения положения подземных объектов вблизи поверхности: он излучает электромагнитные волны в грунт и принимает волны, отражённые от этих объектов. Антенна и детектор находятся прямо на поверхности земли, в одной и той же точке. Линейно поляризованная плоская электромагнитная волна с циклической частотой \(\omega\), распространяющаяся в направлении \(z\), описывается следующим выражением для её поля: \[E = E_0e^{-\alpha z}\cos(\omega t - \beta z), \tag{1}\] где \(E_0\) — постоянная, \(\alpha\) — коэффициент затухания, \(\beta\) — волновое число, выражаемые соответственно так: \[\alpha = \omega\left\{\frac{\mu\varepsilon}{2}\left[\left(1 + \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2\omega^2}\right)^{1/2} - 1\right]\right\}^{1/2},\qquad \beta = \omega\left\{\frac{\mu\varepsilon}{2}\left[\left(1 + \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2\omega^2}\right)^{1/2} + 1\right]\right\}^{1/2}, \tag{2}\] где \(\mu\), \(\varepsilon\) и \(\sigma\) —

1) \(v_m = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}\); 2) \(\delta = \dfrac{2}{\sigma}\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{\mu}} = 15{,}93\) м; 3) \(f_{min} = 800\) МГц; 4) \(t(x) = \dfrac{2\sqrt{\varepsilon_{1r}}}{0{,}3}\sqrt{d^2 + x^2}\), \(d = 5\) м.

Георадар — IPhO 2001/02, 11 кл., задача 1

Георадар
IPhO 2001/02, 11 кл.
5/10
Георадар (ground-penetrating radar, GPR) используется для обнаружения и определения положения подземных объектов вблизи поверхности: он излучает электромагнитные волны в грунт и принимает волны, отражённые от этих объектов. Антенна и детектор находятся прямо на поверхности земли, в одной и той же точке.

Линейно поляризованная плоская электромагнитная волна с циклической частотой \(\omega\), распространяющаяся в направлении \(z\), описывается следующим выражением для её поля: \[E = E_0e^{-\alpha z}\cos(\omega t - \beta z), \tag{1}\] где \(E_0\) — постоянная, \(\alpha\) — коэффициент затухания, \(\beta\) — волновое число, выражаемые соответственно так: \[\alpha = \omega\left\{\frac{\mu\varepsilon}{2}\left[\left(1 + \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2\omega^2}\right)^{1/2} - 1\right]\right\}^{1/2},\qquad \beta = \omega\left\{\frac{\mu\varepsilon}{2}\left[\left(1 + \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2\omega^2}\right)^{1/2} + 1\right]\right\}^{1/2}, \tag{2}\] где \(\mu\), \(\varepsilon\) и \(\sigma\) — магнитная проницаемость, диэлектрическая проницаемость и удельная электропроводность соответственно.

Сигнал перестаёт обнаруживаться, когда амплитуда сигнала радара, доходящего до объекта, падает ниже \(1/e\) (\(\approx 37\,\%\)) от её начального значения. Обычно используют электромагнитную волну переменной частоты (10 МГц — 1000 МГц), чтобы можно было регулировать дальность и разрешение обнаружения.

Качество работы георадара определяется его разрешением. Разрешение задаётся минимальным расстоянием между двумя соседними отражателями, которые ещё можно различить. Минимальное расстояние должно давать минимальную разность фаз \(180^\circ\) между двумя отражёнными волнами на детекторе.

Вопросы. (Даны: \(\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\) Гн/м и \(\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}\) Ф/м.)
1. Считайте, что грунт немагнитный (\(\mu = \mu_0\)) и выполняется условие \(\left(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)^2 \ll 1\). Используя уравнения (1) и (2), выведите выражение для скорости распространения \(v\) через \(\mu\) и \(\varepsilon\). [1,0 балла]
2. Определите максимальную глубину обнаружения объекта в грунте с удельной проводимостью \(1{,}0\) мСм/м и диэлектрической проницаемостью \(9\varepsilon_0\) при выполнении условия \(\left(\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon}\right)^2 \ll 1\) (См \(=\) Ом\(^{-1}\); используйте \(\mu = \mu_0\)). [2,0 балла]
3. Рассмотрим два параллельных проводящих стержня, закопанных горизонтально в грунт. Стержни находятся на глубине 4 м. Известно, что грунт имеет удельную проводимость \(1{,}0\) мСм/м и диэлектрическую проницаемость \(9\varepsilon_0\). Пусть измерение георадаром проводится в точке примерно над одним из стержней. Считайте, что используется точечный детектор. Определите минимальную частоту, необходимую для получения поперечного разрешения 50 см. [3,5 балла]
4. Чтобы определить глубину \(d\) закопанного стержня в том же грунте, рассмотрим измерения, проведённые вдоль линии, перпендикулярной стержню. Результат показан на следующем рисунке:
На рисунке: detector position — положение детектора.

График времени пробега \(t\) в зависимости от положения детектора \(x\), \(t_{min} = 100\) нс.

Выведите зависимость \(t\) от \(x\) и определите \(d\). [3,5 балла]
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
При малом \(\sigma/(\omega\varepsilon)\) разложите корни в формулах (2). Для разрешения сравните пути до двух стержней: разность хода туда и обратно должна дать сдвиг фазы на \(180^\circ\).
Ответ
1) \(v_m = 1/\sqrt{\mu\varepsilon}\); 2) \(\delta = \dfrac{2}{\sigma}\sqrt{\dfrac{\varepsilon}{\mu}} = 15{,}93\) м; 3) \(f_{min} = 800\) МГц; 4) \(t(x) = \dfrac{2\sqrt{\varepsilon_{1r}}}{0{,}3}\sqrt{d^2 + x^2}\), \(d = 5\) м.
Решение
1. Скорость радиосигнала в веществе \(v_m\): \[\omega t - \beta z = \text{const}\ \to\ \beta z = -\text{const} + \omega t,\] \[v_m = \frac{\omega}{\beta},\qquad v_m = \frac{1}{\omega\left\{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}\left[\left(1 + \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2\omega^2}\right)^{1/2} + 1\right]\right\}^{1/2}},\] \[v_m = \frac{1}{\left\{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}(1 + 1)\right\}^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}.\]

2. Максимальная глубина обнаружения объекта в грунте (толщина скин-слоя \(\delta\)) обратно пропорциональна коэффициенту затухания: \[\delta = \frac{1}{\alpha} = \frac{1}{\omega\left\{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}\left[\left(1 + \dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2\omega^2}\right)^{1/2} - 1\right]\right\}^{1/2}} = \frac{1}{\omega\left\{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}\left[\left(1 + \dfrac12\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2\omega^2}\right) - 1\right]\right\}^{1/2}} = \frac{1}{\omega\left\{\dfrac{\mu\varepsilon}{2}\cdot\dfrac12\dfrac{\sigma^2}{\varepsilon^2\omega^2}\right\}^{1/2}},\] \[\delta = \left(\frac{2}{\sigma}\right)\left(\frac{\varepsilon}{\mu}\right)^{1/2}.\]

Численно \(\delta = \dfrac{5{,}31\sqrt{\varepsilon_r}}{\sigma}\) м, где \(\sigma\) выражено в мСм/м. Для среды с удельной проводимостью \(1{,}0\) мСм/м и относительной диэлектрической проницаемостью 9 толщина скин-слоя \[\delta = \frac{5{,}31\sqrt9}{1{,}0} = 15{,}93\text{ м}.\]

3. Поперечное разрешение:

На рисунке: Antenna — антенна, rod — стержень. \[r^2 + d^2 = \left(d + \frac{\lambda}{4}\right)^2,\qquad r = \left(\frac{\lambda d}{2} + \frac{\lambda^2}{16}\right)^{1/2}.\] При \(r = 0{,}5\) м, \(d = 4\) м: \[\frac12 = \left(\frac{4\lambda}{2} + \frac{\lambda^2}{16}\right)^{1/2},\qquad \lambda^2 + 32\lambda - 4 = 0.\] Длина волны \(\lambda = 0{,}125\) м. Скорость распространения сигнала в среде \[v_m = \frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_o\mu_r\varepsilon_o\varepsilon_r}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_o\varepsilon_o}}\frac{1}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}},\] \[v_m = \frac{c}{\sqrt{\mu_r\varepsilon_r}} = \frac{0{,}3}{\sqrt{\varepsilon_r}}\text{ м/нс},\quad\text{где } c = \frac{1}{\sqrt{\mu_o\varepsilon_o}}\text{ и } \mu_r = 1,\] \[v_m = 0{,}1\text{ м/нс} = 10^{8}\text{ м/с}.\] Минимальная частота, необходимая, чтобы различить два стержня как два отдельных объекта: \[f_{min} = \frac{v}{\lambda},\qquad f_{min} = \frac{0{,}3/\sqrt9}{0{,}125}\cdot10^{9}\text{ Гц} = 800\text{ МГц}.\]

4. Пути электромагнитных волн для нескольких положений на поверхности грунта:

На рисунке: Antenna Positions — положения антенны, Scanning direction — направление сканирования, Buried rod — закопанный стержень.

Время пробега как функция \(x\): \[\left(\frac{tv}{2}\right)^2 = d^2 + x^2,\qquad t(x) = \sqrt{\frac{4d^2 + 4x^2}{v}},\]

\[t(x) = \frac{2\sqrt{\varepsilon_{1r}}}{0{,}3}\sqrt{d^2 + x^2}.\]

На рисунке: Graph of traveltime \(t(x)\) — график времени пробега \(t(x)\), Antenna Positions — положения антенны.

При \(x = 0\): \[100 = 2\times(3/0{,}3)\,d,\qquad d = 5\text{ м}.\]
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Георадар

Георадар

Похожие задачи