Физика в микроволновке

В задаче обсуждается получение микроволнового излучения в микроволновке и то, как оно используется для нагревания еды. Микроволновое излучение создается магнетроном. В части A обсуждается работа магнетрона, а в части B — поглощение микроволнового излучения при нагревании еды.

Рис. 1a

Рис. 1b

Часть A. Структура и принцип работы магнетрона (6.6 балла)

Магнетрон – это устройство для создания микроволнового излучения (в импульсном или непрерывном режиме) . У магнетрона есть мода самовозбуждающихся колебаний. Если на магнетрон подать постоянное (не переменное) напряжение, то эта мода возбуждается очень быстро.

Магнетрон в микроволновке представляет собой медный цилиндрический катод (радиуса \(a\)) и окрудающий его анод (радиуса \(b\)). Анод – это толстый цилиндрический слой, в котором просверлены цилиндрические полости. Эти полости называются резонаторами. Один из резонаторов соединен с антенной, с помощью которой излучение испускается (в задаче антенной можно пренебречь). Считайте, что магнетрон находится в вакууме. В задаче рассматривается магнетрон с 8 (восемью) резонаторами (рис. 1а). На рис. 1b показано, что каждая из восьми полостей ведет себя как \(LC\)-резонатор с частотой \(f=2.45\) ГГц.

Магнетрон находится в постоянном однородном магнитном поле, направленном по его оси (т.е. на рис. 1a из страницы условия). Постоянное напряжение приложено между анодом (положительный потенциал) и катодом (отрицательный потенциал). Электроны? вылетевшие с катода, достигают анода и заряжают его. В результате возбуждается мода колебаний, в которой знаки зарядов любых соседних резонаторов противоположны.

В результате между катодом и анодом (вдобавок к постоянному полю) создается переменное электрическое поле с частотой \(f=2.45\) ГГц (синие линии на рис. 1а, постоянное поле не показано). В стационарном режиме амплитуда колебаний напряженности переменного электрического поля составляет около \(\frac{1}{3}\) напряженности постоянного поля. На движение электронов влияют обе составляющие электрического поля. В процессе движения электроны приобретают некоторую энергию от постоянного поля. Электроны, достигающие анода, передают переменному полю около 80

Каждый резонатор можно рассматривать как конденсатор и катушку (рис. 1b). Емкость имеют плоские части поверхности резонатора, индуктивность — цилиндрические части. Считайте, что ток в резонаторе течет очень близко к поверхности цилиндрической полости, а создаваемое им магнитное поле составляет \(0.6\) поля идеального бесконечного соленоида. Геометрические размеры резонатора приведены на рисунке 1b. Физические постоянные \(\varepsilon_0=8.85\cdot10^{-12}\) Ф/м и \(\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\) Гн/м считайте заданными.

A1. Рассчитайте частоту одиночного резонатора \(f_{\text{est}}\) по параметрам, заданным выше.

Ваш ответ может отличаться от реального значения \(f=2.45\) ГГц. Дальше в задаче используйте только реальное значение частоты.

В пункте A2 рассматриваются вспомогательные аспекты движения электрона (не в магнетроне).

Рассмотрим электрон, который движется в однородном электрическом поле, направленном против оси \(y\), т.е. \(\vec{E}=-E_0\hat{y}\), и однородном магнитном поле, направленном вдоль оси \(z\), т.е. \(\vec{B} = B_0 \hat{z}\). \(E_0\) и \(B_0\) — положительные постоянные, \(\hat{x},\hat{y},\hat{z}\) — единичные орты правой координатной системы. Скорость электрона в момент времени \(t\) обозначим \(\vec{u}(t)\). Скорость дрейфа \(\vec{u}_D\) электрона — это его средняя скорость движения. Обозначим \(m\) — массу электрона, \(-e\) — его заряд.

A2. Найдите \(\overrightarrow{u}_D\) для двух случаев, описанных ниже. Нарисуйте в листе ответов траектории движения электронов (в лабораторной системе отсчета) в течение интервала времени \(0 < t < \frac{4\pi m}{eB_0}\), если

1. в момент времени \(t=0\) скорость электрона равна \(\overrightarrow{u}(0)=(3E_0/B_0)\hat{x}\),

2. в момент времени \(t=0\) скорость электрона равна \(\overrightarrow{u}(0)=-(3E_0/B_0)\hat{x}\).

Вернемся теперь к обсуждению магнетрона. Расстояние между катодом и анодом \(15\) мм. Пусть также из-за описанных ранее потерь энергии максимальная кинетическая энергия электрона не превышает \(K_{\text{max}}=800\) эВ. Индукция постоянного магнитного поля \(B_0=0.3\) Тл. Масса и заряд электрона равны \(m=9.1\cdot10^{-31}\)кг и \(-e=-1.6\cdot10^{-19}\) Кл соответственно.

A3. Рассмотрим электрон в системе отсчета, в которой его движение можно считать почти движением по окружности.

Оцените численно максимальный радиус \(r\) этой окружности. Систему отсчета считать инерциальной.

Рис. 2

A4. На рисунке 2 изображены силовые линии переменного электрического поля между анодом и катодом в некоторый момент времени (силовые линии постоянного поля не показаны). Положения пяти электоронов в этот момент времени обозначены \(A, B, C, D\) и \(E\).

Укажите в листе ответов, какие из этих электронов дрейфуют в сторону анода, какие в сторону катода, а какие дрейфуют в направлении перпендикулярном радиусу в этот момент времени.

Рис. 3

На рисунке 3 изображены силовые линии переменного электрического поля между анодом и катодом в некоторый момент времени (силовые линии постоянного поля не показаны). Положения шести электоронов в этот момент времени обозначены \(A, B, C, D, E\) и \(F\). Все электроны расположены на одинаковом расстоянии от катода.

A5. Рассмотрим пары электронов \(AB, AC, BC, DE, DF, EF\) (рис. 3). Для каждой из пар укажите, как будет влиять дрейф на угол между векторами, направленными из точки \(O\) (центр катода) к точке, где находится электрон. Будет ли угол увеличиваться или уменьшаться в этот момент времени?

Рис. 4

Поведение системы, которое вы обнаружили в пункте A5, — это механизм фокусировки. Электроны концентрируются в пространстве между катодом и анодом в сгустки. Такие сгустки называются «спицами». Одна из спиц показана на рисунке 4 и обозначена \(S\).

A6. Нарисуйте в листе ответов остальные спицы в этот момент времени. Стрелками укажите направление их вращения.

Вычислите их угловую скорость \(\omega_s\).

Пусть полная напряженность электрического поля на середине расстояния между анодом и катодом равна среднему значению напряженности постоянного поля, измеренной вдоль радиуса. Считайте, что спицы направлены радиально. Радиусы анода и катода равны \(b\) и \(a\) соответственно (рис. 4).

A7. Оцените, какое постоянное напряжение \(V_0\) нужно, чтобы магнетрон работал в режиме, описанном в этой части задачи. (Найденное выражение будет соответствовать минимальному значения напряжения; оптимальное напряжение несколько выше.)

Часть B. Взаимодействие микроволнового излучения с молекулами воды (3.4 балла)

В этой части задачи обсуждается нагрев еды с помощью микроволнового излучения.

Электрический диполь представляет собой два одинаковых по модулю и противоположных по знаку заряда \(q\) и \(-q\), расположенных на небольшом расстоянии \(d\) друг от друга. Вектор дипольного момента направлен от отрицательного заряда к положительному, а его модуль равен \(p=qd\).

Пусть одиночный диполь \(\vec{p}(t)\) помещен в переменное электрическое поле \(\vec{E}(t)=E(t)\hat{x}\). Модуль дипольного момента постоянен, т.е. \(p_0=\left|\vec{p}(t)\right|\). Угол между векторами дипольного момента и напряженности поля равен \(\theta(t)\).

B1. Найдите модуль момента сил \(\tau(t)\), действующих на диполь со стороны поля.

Найдите мгновенную мощность \(H_i(t)\), сообщаемую диполю.

Молекулы воды можно представить электрическими диполями. Из-за сильных водородных связей между молекулами воды в жидкости нельзя считать воду совокупностью независимых диполей. Таким образом необходимо использовать вектор поляризации \(\vec{P}(t)\), который равен среднему дипольному моменту единицы объема вещества. Вектор поляризации \(\vec{P}(t)\) направлен параллельно вектору напряженности локально приложенного переменного электрического поля (излучения) \(\vec{E}(t)\). Также он осциллирует во времени с амплитудой, пропорциональной амплитуде напряженности электрического поля, но с фазовым сдвигом \(\delta\).

Локальное электрическое поле в некоторой точке нагреваемой воды равно \(\overrightarrow{E}(t)=E_0\sin(\omega t)\hat{x}\), где \(\omega=2\pi f\), поляризует воду \(\overrightarrow{P}(t)=\beta\varepsilon_0E_0\sin(\omega t-\delta)\hat{x}\), где безразмерная постоянная \(\beta\), определяется свойствами воды.

B2. Найдите усредненную по времени мощность \(\langle H(t)\rangle\), поглощаемую единицей объема воды.

Усреднение по времени периодической величины \(f(t)\) за период \(T\) определяется как\[\langle f(t)\rangle=\frac{1}{T}\int\limits_{t_0}^{t_0+T}f(t)\:\mathrm{d}t.\]

Рассмотрим распространение излучения сквозь воду. Относительная диэлектрическая проницаемость воды (в обсуждаемых диапазонах частот) равна \(\varepsilon_r\), соответствующий показатель преломления воды равне \(n=\sqrt{\varepsilon_r}\). Мгновенная плотность энергии электрического поля равна \(\frac{1}{2}\varepsilon_r\varepsilon_0E^2\). Усредненные по времени плотности энергии электрического и магнитного поля равны.

B3. Обозначим усредненную по времени плотность потока энергии излучения \(I(z)\) (средняя мощность излучения проходящая через единицу площади). Здесь \(z\) — это глубина проникновения излучения в воду (излучение распространяется вдоль оси \(z\)).

Найдите зависимость \(I(z)\). В вашем ответе может фигурировать плотность потока энергии на поверхности воды \(I(0)\).

Фазовый сдвиг \(\delta\) обусловлен взаимодействием между молекулами воды. Он зависит от безразмерных величин \(\varepsilon_{\ell}\) (характеризующая диссипацию) и \(\varepsilon_r\) (диэлектрическая проницаемость). Обе величины зависят от частоты излучения \(\omega\) и температуры.

Формула для фазового сдвига \(\text{tg }\delta=\varepsilon_{\ell}/\varepsilon_r\). Когда \(\delta\) достаточно мала, электрическое поле на глубине \(z\) рассчитывается следующим образом:

\[\overrightarrow{E}(z,t)=\overrightarrow{E}_0 e^{-\frac{1}{2}nk_0z\tan{\delta}}\sin\left(nk_0z-\omega t\right)\]

где \(k_0=\omega/c\) и \(c=3.0 \cdot 10^8\) м/с — скорость Светы в вакууме.

B4. В приближении \(\tan\delta\approx\sin\delta\) найдите значение коэффициента \(\beta\), определенного в пункте B2. Ответ выразите через заданные выше величины.

Рис. 5. Изменение температуры от \(0^\circ \text{C}\) до \(100^\circ \text{C}\) показано стрелками на графике.

На рисунке 5 изображены зависсимости \(\color{blue}{\varepsilon_{\ell}}\) (синие линии) и \(\color{red}{\varepsilon_r}\) (красные линии) для чистой (сплошные линии) и соленой (пунктирные линии) воды. Приведены зависимости указанных величин от частоты при разных температурах. Обсуждаемая в задаче угловая частота \(\omega=2\pi\cdot2.45\cdot10^9\) 1/с отмечена жирной черной вертикальной линией. Далее мы рассматриваем излучение только на этой частоте.

B5. По данным на рисунке 5 ответьте на следующие вопросы:

1. Найдите глубину проникновения \(z_{1/2}\) в воду при температуре \(20^{\circ}\text{C}\). Под глубиной проникновения здесь понимается такое расстояние, на котором поглощаемая мощность в единице объема уменьшается в два раза по сравнению с ее значением при \(z=0\).

2. Укажите в листе ответов как меняется глубина проникновения микроволнового излучения в воде при изменении температуры. Она увеличивается, уменьшается или не изменяется при увеличении(?) температуры?

3. Укажите в листе ответов как меняется глубина проникновения микроволнового излучения в соленой воде при изменении температуры. Она увеличивается, уменьшается или не изменяется при увеличении(?) температуры?