Термоакустический двигатель

Термоакустический двигатель превращает тепловую энергию в акустическую, или в звуковые волны – один из видов механической энергии. Как и другие тепловые двигатели, он может работать в обратном режиме, став холодильной машиной, т.е. с помощью звука передавать тепло от холодного тела к горячему. Т.к. двигатель функционирует на высокой частоте, теплопередача уменьшается. Также двигателю не требуется рабочая камера. В отличие от других двигателей, термоакустический двигатель не имеет движущихся частей, кроме рабочего потока.

КПД термоакустческого двигателя обычно ниже, чем у других двигателей, но они обладают рядом преимуществ при сборке, отладке и обслуживанию. В этой задаче мы рассмотрим генерацию звуковой энергии в системе.

Часть А. Звуковая волна в закрытой трубе (3.7 балла)

Рассмотрим теплоизолированную трубу длиной \(L\) и площадью поперечного сечения \(S\). Ось трубы совпадает с осью \(x\). Координаты концов трубы – \(x=0\) и \(x=L\). Труба заполнена идеальным газом и закрыта с обоих концов. В равновесии температура газа \(T_0\), давление \(p_0\) и плотность \(\rho_0\). Предполагается, что вязкость отсутствует, а движение газа происходит только вдоль горизонтальной оси \(x\). Свойства газа однородны в перпендикулярных направлениях \(y\) и \(z\).

Рис. 1

A1. Если образуется стоячая волна, элементы газа колеблются в направлении \(x\) с циклической частотой \(\omega\). Амплитуда колебаний зависит от положения равновесия \(x\) каждого элемента вдоль трубы. Продольное смещение \(u\) каждого элемента газа от его положения в состоянии покоя \(x\) дается формулой

\[u(x,t)=a\sin(kx)\cos(\omega t)=u_1(x)\cos(\omega t)\](заметим, что \(u\) описывает смещение рассматриваемой порции газа). Здесь \(a\ll L\) – положительная постоянная, \(k = 2\pi /\lambda\) – волновое число и \(\lambda\) – длина волны. Чему равна максимально возможная длина волны \(\lambda_\text{max}\) в такой системе?

В этой задаче рассмотрим моду колебаний, соответствующую длине волны \(\lambda=\lambda_\text{max}\).

Рассмотрим порцию газа, находящуюся в состоянии покоя между \(x\) и \(x+\Delta x\) (\(\Delta x \ll L\)). В результате волны смещения из задания A1, порция газа колеблется вдоль оси \(x\). При этом изменяется её объем и другие термодинамические характеристики.

A2. Объем порции газа \(V(x,t)\) колеблется около равновесного значения \(V_0 = S \Delta x\) согласно формуле

\[V(x,t) = V_0 + V_{1}(x) \cos (\omega t).\]Получите выражение для \(V_1(x)\), выразив его через \(V_0\), \(a\), \(k\) и \(x\).

A3. Считайте, что зависимость давления газа из-за звуковой волны имеет приближенный вид

\[p(x,t) = p_0 - p_{1}(x) \cos (\omega t).\]Рассматривая силы, действующие на порцию газа, вычислите амплитуду \(p_1(x)\) колебаний давления (первый порядок малости), выразив ее через координату \(x\), равновесную плотность \(\rho_0\),амплитуду смещения \(a\) и параметры волны \(k\) и \(\omega\).

При звуковых частотах теплопроводностью газа можно пренебречь. Будем считать процессы расширения и сжатия газа адиабатическими. То есть выполняется уравнение \(pV^\gamma = \text{const}\), где \(\gamma\) – показатель адабаты.

A4. Используйте приведённое выше соотношение и результаты предыдущих пунктов, чтобы получить выражение для скорости звуковых волн \(c = \omega /k\) . Выразите свой ответ через параметры равновесного состояния газа \(p_0, \rho_0\) и показатель адиабаты \(\gamma\).

A5. Изменение температуры газа в процессе адиабатического расширения и сжатия в результате воздействия звуковой волны имеет вид:

\[T(x,t) = T_0 - T_{1}(x) \cos (\omega t).\]Вычислите амплитуду \(T_1(x)\) колебаний температуры, выразив ее через \(T_0\), \(\gamma\), \(a\), \(k\) и \(x\).

A6. Только в этом пункте рассмотрим слабое тепловое взаимодействие между трубой и газом. Таким образом, стоячая волна остается неизменной, но газ может обмениваться небольшим количеством тепла с трубой. Нагревом, обусловленным вязкостью, можно пренебречь.

Для каждой точки на рис. 2 (\(A\), \(C\) на концах трубы, \(B\) посередине) укажите, будет ли температура указанных точек трубы увеличиваться, уменьшаться или не будет изменяться в течение длительного времени.

Рис. 2

Часть B. Усиление звуковой волны, вызванное внешним тепловым контактом (6.3 балла)

Стопка тонких твердых пластин установлена внутри трубы. Пластины в стопке установлены параллельно оси трубы, так что они не мешают потоку газа вдоль трубы. Середина стопки расположена на \(x_0 = L /4\), ширина стопки \(\ell \ll L\) вдоль оси трубы; стопка заполняет полностью сечение трубы. Левый край стопки находится на \(x_H = x_0 - \ell / 2\). С помощью внешнего теплового резервуара его температура поддерживатся равной \(T_H = T_0 + \tau /2\) . В то же время, правый край стопки находится на \(x_C = x_0 + \ell / 2\), и его температура поддерживается равной \(T_C=T_0 - \tau/2\). Таким образом между концамм

Стопка пластин обеспечивает, что продольный тепловой поток имеет постоянный градиент температуры между краями, так что \(T_\text{plate}(x)=T_0-\dfrac{x-x_0}{\ell}\tau\).

Рис. 3. Схема системы. \(A\) и \(B\) обозначают соответственно горячий и холодный резервуары тепла. \(D\) – стопка пластин.

Для анализа влияния теплового контакта между стопкой пластин и газом на звуковые волны в трубе, предположим следующее:

• Все изменения термодинамических величин малы по сравнению с невозмущенными величинами.

• Система работает на основной моде стоячей волны при максимально возможной длине волны. Она очень слабо изменяется из-за наличия стопки пластин.

• Стопка пластин значительно короче длины волны \(\ell \ll \lambda_\text{max}\), и может быть расположена достаточно далеко от узлов (нулей) смещения и давления, так что смещение \(u(x,t)\approx u(x_0,t)\) и давление \(p(x,t)\approx p(x_0,t)\) могут считаться постоянными по всей длине стопки.

• Краевыми эффектами, вызванными порциями газа, входящими в стопку пластин и выходящими из неё можно пренебречь.

• Разница температур между краями стопки пластин, т.е. между горячим и холодным резервуарами, мала по сранению с абсолютной температурой: \(\tau \ll T_0\).

• Теплопроводностью газа, стопки пластин и трубы можно пренебречь. Основными процессами теплопередачи являются конвекция (из-за движения газа) и теплопередача между газом и стопкой пластин.

B1. Рассмотрим конкретную порцию газа в районе стопки пластин, первоначально расположенную на \(x_0=L/4\). В процессе движения порции газа внутри стопки пластин, локальная температура участка стопки пластин изменяется следующим образом:

\[T_\text{env}(t) = T_0 - T_\text{st} \cos (\omega t).\]Выразите \(T_\text{st}\) через of \(a\), \(\tau\) и \(\ell\).

B2. Выше определенной критической разницы температур \(\tau_\text{cr}\) газ будет передавать тепло от горячего резервуара к холодному. Выразите \(\tau_\text{cr}\) через \(T_0\), \(\gamma\), \(k\) и \(\ell\).

B3. Получите приближенное выражение для потока тепла \(\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t\) в порцию газа как линейную функцию скоростей изменения объема и давления. Выразите свой ответ через скорость изменения объема \(\mathrm{d}V/\mathrm{d}t\), скорость изменения давления \(\mathrm{d}p/\mathrm{d}t\), невозмущенные равновесные значения давления и объёма порции газа \(p_0\) ,\(V_0\), и показатель адабаты \(\gamma\).

Вы можете использовать выражение для молярной теплоемкости при постоянном объеме \(c_v= \dfrac {R}{\gamma -1}\), где \(R\) – газовая постоянная.

Ограниченный тепловой поток между порцией газа и стопкой пластин приводит к сдвигу фаз между колебаниями давления и объёма порции газа. Это приводит к появлению работы.

Пусть поток тепла между частицей газа и стопкой пластин пропорционален разнице температур между частицей газа и расположенным рядом элементом стопки пластин. Приближенно можно записать \(\mathrm{d}Q/\mathrm{d}t =-\beta V_0 (T_\text{st} - T_1 ) \cos(\omega t)\), где \(T_1\) и \(T_\text{st}\) – амплитуды колебаний температуры порции газа и расположенной рядом стопки пластин из заданий A.5 и B.1, соответственно, \(\beta>0\) – постоянная. Считайте, что при рабочих частотах двигателя, изменение температуры газа в результате этого теплового потока несущественно по сравнению как с \(T_1\), так и \(T_\text{st}\).

B4. Для вычисления работы рассмотрим изменение объема движущейся порции газа в результате теплового контакта с стопкой пластин. Запишем давление и объем порции газа в виде:

\[\begin{split} p & =p_0+p_a\sin(\omega t)-p_b\cos(\omega t),\\ V & =V_0+V_a\sin(\omega t)+V_b\cos(\omega t).\end{split}\]При заданных \(p_a\) и \(p_b\), найдите коэффициенты \(V_a\)и \(V_b\). Выразите свой ответ через \(p_a\), \(p_b\), \(p_0\), \(V_0\), \(\gamma\), \(\tau\), \(\tau_\text{cr}\), \(\beta\), \(\omega\), \(a\) и \(\ell\).

B5. Вычислите акустическую работу, отнесенную к единице объёма \(w\), произведённую порцией газа за один цикл.

Интегрируя по объёму всей стопки пластин, найдите полную работу \(W_\text{tot}\), совершенную газом за один цикл. Выразите \(W_\text{tot}\) через \(\gamma\), \(\tau\), \(\tau_\text{cr}\), \(\beta\), \(\omega\), \(a\), \(k\) и \(S\).

B6. Получите выражение для теплоты \(Q_\text{tot}\) , переданного за цикл от левого края пластины \(x=x_0\) к правому краю. Выразите свой ответ через \(\tau\), \(\tau_\text{cr}\), \(\beta\), \(\omega\), \(a\), \(S\), \(\ell\).

Подсказка: Для потока тепла при конвекции можно использовать формулу \(j=Q\,\mathrm{d}u/\mathrm{d}t\).

B7. Определите КПД термоакустического двигателя. КПД определяется как отношение произведенной акукстической работы к теплу, полученному из резервуара. Выразите свой ответ через разницу температур \(\tau\) между горячим и холодным резервуарами, критическую разность температур \(\tau_\text{cr}\) и КПД цикла Карно \(\eta_c=1-T_C/T_H\).