Пружина нулевой длины и слинки

Пружина эффективной нулевой длины (ПНД) это пружина, у которой сила пропорциональна длине пружины: \(F=kL\) для \(L>L_0\), где \(L_0\) – минимальная длина (длина нерастянутой пружины). На рис. 1 показана зависимость силы \(F\) от длины \(L\) для ПНД, где наклон есть жесткость пружины \(k\).

Рис. 1

ПНД используются в сейсмографии и позволяют очень точно измерять изменения в ускорении свободного падения \(g\). Здесь и далее мы рассматриваем однородную ПНД, у которой вес \(Mg\) превышает \(kL_0\). Введём безразмерный коэффициент \(\alpha=kL_0/Mg<1\), характеризующий относительную жесткость пружины. Игрушка-пружинка «слинки» может являться примером такой ПНД (но не обязательно).

Часть A. Статика (3.0 балла)

A1. Рассмотрим кусочек нерастянутой ПНД длиной \(\Delta \ell\). Пружину растянули силой \(F\) в условиях невесомости. Какова длина \(\Delta y\) этого кусочка в зависимости от \(F\), \(\Delta \ell\) и параметров пружины?

A2. Для кусочка длиной \(\Delta \ell\) вычислите работу \(\Delta W\), необходимую для его растяжения от длины \(\Delta \ell\) до длины \(\Delta y\).

Далее в этой задаче мы будем обозначать точки пружины с помощью расстояния \(\ell\:(0\le\ell\le L_0)\), которое измеряется от нижней точки пружины, когда она не растянута. В частности, для каждой точки пружины значение \(\ell\) остаётся неизменным при растяжении пружины.

A3. Предположим, что мы удерживаем пружину за верхний конец так, что пружина растягивается под собственным весом. Определите полную длину \(H\) растянутой пружины в положении равновесия. Выразите ответ через \(L_0\) и \(\alpha\).

Часть B. Динамика (5.5 балла)

Проведем следующий эксперимент. Пружина подвешена за верхний конец и находится в покое. В некоторый момент пружину отпускают, и она начинает сжиматься, причем, сжатие происходит постепенно, сверху вниз, и нижняя часть остаётся неподвижной (рис. 2). С течением времени сжатая часть движется как твердое тело и собирает остальные витки пружины, а неподвижная часть становится короче. Каждая точка пружины начинает движение только тогда, когда движущаяся часть достигнет этой точки. Нижний конец пружины начинает движение только тогда, когда пружина полностью сожмется и приобретёт длину \(L_0\). После этого, сжатая пружина падает, как твердое тело в поле тяжести.

Рис. 2

В последующих частях задачи используйте описанную выше модель.

Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Пренебрегать \(L_0\) нельзя.

B1. Найдите время \(t_c\), которое пройдет с момента отпускания пружины до сжатия пружины до минимальной длины \(L_0\). Ответ выразите через \(L_0\), \(g\) и \(\alpha\).

Посчитайте числовое значение \(t_c\) для пружины с параметрами \(k=1.02~\text{Н}/\text{м}\), \(L_0=0.055~\text{м}\) и \(M=0.201~\text{кг}\), считайте, что \(g=9.80~\text{м}/\text{с}^2\).

B2. В этой части \(\ell\) используется для обозначения конкретной точки пружины, а именно границы между частью \(\mathrm{I}\) (рис. 2, движущаяся часть) и частью \(\mathrm{II}\) (неподвижная часть). В некоторый момент времени, пока существует неподвижная часть, ее масса равна \(m(\ell)=\frac{\ell}{L_0} M\), а подвижная часть движется с мгновенной скоростью \(v_I (\ell)\). Покажите, что для этого момента времени (когда существует неподвижная часть) скорость движущейся части описывается выражением \(v_I (\ell)=\sqrt{A\ell+B}\). Выразите константы \(A\) и \(B\) через \(L_0\), \(g\) и \(\alpha\).

B3. Используя пункт B2, найдите минимальную скорость \(v_{\text{min}}\) движущейся части пружины в ходе движения: от момента отпускания до падения пружины на землю. Выразите ответ через \(L_0\), \(\alpha\), \(A\) и \(B\).

Часть C. Энергетическая (1.5 балла)

C1. Найдите механическую энергию \(Q\), которая перешла в тепло, начиная с момента отпускания пружины и до момента прямо перед касанием пружиной о землю. Выразите ответ через \(L_0\), \(M\), \(g\) и \(\alpha\).