Нелинейность

Все элементы одинаковы, поэтому токи в узлах делятся поровну. Напряжения на элементах соответствующих уровней образуют убывающую геометрическую прогрессию.

Так как все элементы одинаковы, токи в каждом узле делятся поровну (см. рисунок), поэтому напряжения на элементах уровней, считая от входа, равны \[U_1 = \sqrt{\frac{I}{\alpha}}, \quad U_2 = \sqrt{\frac{I}{2\alpha}}, \quad U_3 = \sqrt{\frac{I}{4\alpha}}, \dots\] где \(I\) — общая сила тока в цепи.

Напряжение, приложенное к цепи: \[U = 2\,(U_1 + U_2 + U_3 + \dots) = 2\sqrt{\frac{I}{\alpha}}\left(1 + \frac{1}{\sqrt 2} + \frac{1}{2} + \dots\right).\] Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем \(1/\sqrt{2}\): \[1 + \frac{1}{\sqrt 2} + \frac{1}{2} + \dots = \frac{1}{1 - 1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt 2}{\sqrt 2 - 1}.\] Тогда \(U = 2\sqrt{\dfrac{I}{\alpha}}\cdot\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 2 - 1}\), откуда \[I = \alpha\,\frac{(\sqrt 2 - 1)^2}{8}\,U^2 = \gamma U^2, \qquad \gamma = \alpha\,\frac{(\sqrt 2 - 1)^2}{8} \approx 1{,}5~\text{мА/В}^2.\]