Испытания автомобиля

Максимальное ускорение на первом участке равно \(\mu g\), на втором — \(2\mu g\) при торможении. Выгодно разгоняться максимально, а затем заблаговременно тормозить до некоторой скорости на границе; эту скорость найдите из условия минимума времени.

Разгон на первом участке с ускорением \(\mu g\) до скорости \(\upsilon_2\) в точке \(A\), затем заблаговременное торможение с ускорением \(-\mu g\) до скорости \(\upsilon_0\) на границе (точка \(B\)), затем торможение с ускорением \(-2\mu g\) до полной остановки в точке \(C\) в момент \(t_{\text{и}}\).

Скорость \(\upsilon_0\) на границе достигается в момент \(t_3 = \dfrac{\upsilon_0}{\mu g}\), к этому моменту пройден путь \(S_1 = \dfrac{\upsilon_0^2}{2\mu g}\). Половина оставшегося до границы пути пройдена за время \(\Delta t_2\): \[\frac{L - S_1}{2} = \upsilon_0\,\Delta t_2 + \frac{\mu g\,\Delta t_2^2}{2}, \qquad \Delta t_2 = \sqrt{\frac{\upsilon_0^2}{2\mu^2g^2} + \frac{L}{\mu g}} - \frac{\upsilon_0}{\mu g}.\] Время движения до границы: \[t_0 = t_3 + 2\,\Delta t_2 = 2\sqrt{\frac{\upsilon_0^2}{2\mu^2g^2} + \frac{L}{\mu g}} - \frac{\upsilon_0}{\mu g}.\] Время торможения за границей: \(t_т = \dfrac{\upsilon_0}{2\mu g}\). Полное время \[t_{\text{и}} = t_0 + t_т = 2\sqrt{\frac{\upsilon_0^2}{2\mu^2g^2} + \frac{L}{\mu g}} - \frac{\upsilon_0}{2\mu g}.\] Обозначим \(s = \dfrac{\upsilon_0}{\mu g}\), \(c = \dfrac{L}{\mu g}\). Тогда \(t_{\text{и}} = 2\sqrt{\dfrac{s^2}{2} + c} - \dfrac{s}{2}\). Производная по \(s\) равна нулю при \(\dfrac{s}{\sqrt{s^2/2 + c}} = \dfrac{1}{2}\), откуда \(s^2 = \dfrac{2c}{7}\). При этом \[t_{\text{и,min}} = \frac{7}{2}\sqrt{\frac{2c}{7}} = \sqrt{\frac{7L}{2\mu g}} \approx 1{,}87\sqrt{\frac{L}{\mu g}}, \qquad \upsilon_0 = \mu g\, s = \sqrt{\frac{2\mu g L}{7}}.\]