Остановка частицы в магнитном поле

Изменение модуля скорости определяется только силой сопротивления, так как сила Лоренца перпендикулярна скорости. Запишите уравнения движения в проекциях и умножьте их на \(\Delta t\), чтобы получить связь изменений скоростей и координат.

Выберем начало координат в точке \(A\) начала движения, ось \(y\) направим по начальной скорости, ось \(x\) — перпендикулярно ей и \(\vec B\) так, чтобы в начальный момент сила Лоренца была направлена по \(+x\). Пусть сила сопротивления \(\vec F_c = -b\vec v\), и введём \(k = \dfrac{qB}{m}\), \(\alpha = \dfrac{b}{m}\). Уравнения движения \[m\dot v_x = qBv_y - bv_x, \qquad m\dot v_y = -qBv_x - bv_y.\] Умножая на малый интервал \(\Delta t\) и суммируя, получаем \[v_x = k\,y - \alpha\,x, \qquad v_y - v_0 = -k\,x - \alpha\,y.\] В точке остановки \(v_x = 0\) и скорость антипараллельна \(\vec v_0\), поэтому \(ky = \alpha x\), откуда \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{k}{\alpha} = \mathrm{tg}\,\varphi\) и \(\alpha = k\,\mathrm{ctg}\,\varphi\).

1) Сила Лоренца не меняет модуль скорости, поэтому \(\Delta v = -\alpha v\,\Delta t = -\alpha\,\Delta s\). Суммируя, получаем \(v_0 = \alpha S\), откуда \[S = \frac{m v_0\,\mathrm{tg}\,\varphi}{qB} = \frac{p_0\,\mathrm{tg}\,\varphi}{qB}.\]

2) Координаты точки остановки \(x_0\), \(y_0\) связаны соотношением \(y_0 = x_0\,\mathrm{ctg}\,\varphi\). В этой точке \(v_x = 0\) и \(v_y = 0\), поэтому \(-v_0 = -k x_0 - \alpha y_0 = -k x_0\left(1 + \mathrm{ctg}^2\varphi\right) = -\dfrac{k x_0}{\sin^2\varphi}\), откуда \(x_0 = \dfrac{m v_0}{qB}\sin^2\varphi\). Расстояние от начальной точки до точки остановки \[l = \frac{x_0}{\sin\varphi} = \frac{p_0\sin\varphi}{qB}.\]