Кубическая планета

Гравитационный потенциал в центре куба вдвое больше по модулю, чем в его вершине. Используйте закон сохранения энергии для двух случаев.

Исходный куб составим из восьми кубиков вдвое меньшего ребра. По аналогии с электростатикой введём гравитационный потенциал \(\varphi\), который в любой точке однородного куба пропорционален его массе и обратно пропорционален линейным размерам. Для малого кубика с ребром \(b\) и массой \(m\) потенциал в его центре \(\varphi_0 = -k\dfrac{m}{b} = -k\rho b^2\) (здесь \(k\) — коэффициент, \(\rho\) — плотность планеты).

Потенциал в центре большого куба по принципу суперпозиции \(\varphi_1 = 8\varphi_0\), а потенциал в его вершине \(\varphi_2 = -k\dfrac{\rho(2b)^3}{2b} = 4\varphi_0\). Таким образом, \(\varphi_1 = 2\varphi_2\).

Закон сохранения энергии для падения из \(A\) в \(O\) и для запуска из \(A\) с выходом из поля тяготения: \[m\varphi_2 = m\varphi_1 + \frac{m\upsilon_1^2}{2}, \qquad m\varphi_2 + \frac{m\upsilon_2^2}{2} = 0.\] Отсюда \(\upsilon_1^2 = -2\varphi_2\) и \(\upsilon_2^2 = -2\varphi_2\), то есть \(\upsilon_2 = \upsilon_1\).