Задачи › Движение в электрическом поле

Четыре задачи

  1. Четыре задачи

    IPhO 2000/01, 11 кл.
    6/10

    1a) Клистрон

    Клистроны — это устройства для усиления сигналов очень высокой частоты. Клистрон в основном состоит из двух одинаковых пар параллельных пластин (резонаторов), находящихся на расстоянии \(b\) друг от друга, как показано на рисунке.

    Рисунок

    На рисунке: input cavity — входной резонатор, output cavity — выходной резонатор, phase shifter — фазовращатель.

    Пучок электронов с начальной скоростью \(v_0\) проходит через всю систему сквозь маленькие отверстия в пластинах. Усиливаемое высокочастотное напряжение подаётся на обе пары пластин с некоторой разностью фаз между ними (период \(T\) соответствует фазе \(2\pi\)) и создаёт в резонаторах горизонтальные переменные электрические поля. Электроны, влетающие во входной резонатор, когда электрическое поле направлено вправо, тормозятся, и наоборот, так что вылетающие электроны на некотором расстоянии образуют сгустки. Если выходной резонатор поместить в точку образования сгустков, то электрическое поле в этом резонаторе будет отбирать мощность у пучка при условии, что его фаза выбрана подходящим образом. Пусть сигнал напряжения — прямоугольные импульсы (меандр) с периодом \(T = 1{,}0\cdot10^{-9}\) с, напряжение меняется между значениями \(V = \pm0{,}5\) В. Начальная скорость электронов \(v_0 = 2{,}0\cdot10^{6}\) м/с, отношение заряда к массе \(e/m = 1{,}76\cdot10^{11}\) Кл/кг. Расстояние \(\alpha\) настолько мало, что временем пролёта через резонаторы можно пренебречь. Сохраняя 4 значащие цифры, вычислите:

    a) расстояние \(b\), на котором электроны собираются в сгустки. Перенесите результат в лист ответов. [1,5 балла]

    b) необходимую разность фаз, которую должен обеспечить фазовращатель. Перенесите результат в лист ответов. [1,0 балла]

    1b) Расстояние между молекулами

    Пусть \(d_L\) и \(d_V\) — средние расстояния между молекулами воды в жидкой фазе и в паре соответственно. Считайте, что обе фазы находятся при температуре 100 °C и атмосферном давлении, а пар ведёт себя как идеальный газ. Используя приведённые ниже данные, вычислите отношение \(d_V/d_L\) и перенесите результат в лист ответов. [2,5 балла]

    Плотность воды в жидкой фазе: \(\rho_L = 1{,}0\cdot10^{3}\) кг/м\(^3\).

    Молярная масса воды: \(M = 1{,}8\cdot10^{-2}\) кг/моль.

    Атмосферное давление: \(P_a = 1{,}0\cdot10^{5}\) Н/м\(^2\).

    Газовая постоянная: \(R = 8{,}3\) Дж/(моль\(\cdot\)К).

    Число Авогадро: \(N_A = 6{,}0\cdot10^{23}\) моль\(^{-1}\).

    1c) Простой генератор пилообразного сигнала

    Пилообразное напряжение \(V_0\) можно получить на конденсаторе \(C\) в схеме на рис. 1. \(R\) — переменный резистор, \(V_i\) — идеальная батарея, \(SG\) — искровой промежуток, состоящий из двух электродов с регулируемым расстоянием между ними. Когда напряжение между электродами превышает напряжение пробоя \(V_f\), воздух между электродами пробивается, промежуток становится коротким замыканием и остаётся таким, пока напряжение на промежутке не станет очень малым.

    Рисунок

    На рисунке: Figure 1 — рис. 1.

    a) Нарисуйте график напряжения \(V_0\) от времени \(t\) после замыкания ключа. [0,5 балла]

    b) Какое условие должно выполняться, чтобы пилообразное напряжение \(V_0\) менялось почти линейно? Перенесите результат в лист ответов. [0,2 балла]

    c) При выполнении этого условия выведите упрощённое выражение для периода \(T\) сигнала. Перенесите результат в лист ответов. [0,4 балла]

    d) Что нужно изменять (\(R\) и/или \(SG\)), чтобы изменить только период? Перенесите результат в лист ответов. [0,2 балла]

    e) Что нужно изменять (\(R\) и/или \(SG\)), чтобы изменить только амплитуду? Перенесите результат в лист ответов. [0,2 балла]

    f) Вам дан дополнительный регулируемый источник постоянного напряжения. Придумайте и нарисуйте новую схему, указав выводы, на которых получится напряжение \(V_0'\), показанное на рис. 2. [1,0 балла]

    Рисунок

    На рисунке: Figure 2 — рис. 2.

    1d) Атомный пучок

    Атомный пучок получают, нагревая совокупность атомов до температуры \(T\) и позволяя им вылетать горизонтально через маленькое отверстие (атомных размеров) диаметром \(D\) в одной из стенок печи. Оцените диаметр пучка после того, как он пройдёт по горизонтали расстояние \(L\). Масса атома \(M\). Перенесите результат в лист ответов. [2,5 балла]

    Рисунок

    На рисунке: Diameter = \(D\) — диаметр \(= D\); Oven at temperature \(T\) — печь при температуре \(T\); Atoms of mass \(M\) — атомы массой \(M\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    1a: ускоренные и заторможенные электроны пролетают одно и то же расстояние, но ускоренные вылетают на полпериода позже. 1d: отверстие атомных размеров — значит, расплывание пучка определяется соотношением неопределённостей, а продольная скорость — тепловая.

    Ответ

    1a) a) \(b = 2{,}272\cdot10^{-2}\) м; b) \(\Delta\varphi = \pm220^\circ\) (или \(\pm140^\circ\));  1b) \(d_V/d_L = (RT\rho_L/(P_aM))^{1/3} = 12\);  1c) b) \(V_i \gg V_f\); c) \(T = (V_f/V_i)RC\); d) \(R\); e) \(SG\) и \(R\);  1d) \(D_{new} = D + \dfrac{L\hbar}{D\sqrt{3MkT}}\).

    Решение

    Часть 1a

    a. Скорости заторможенных и ускоренных электронов: \[v_{ret} = \sqrt{v_0^2 - 2(e/m)V} = 1{,}956\cdot10^{6}\text{ м/с},\qquad v_{acc} = \sqrt{v_0^2 + 2(e/m)V} = 2{,}044\cdot10^{6}\text{ м/с}.\] \[x_{ret} = v_{ret}t,\qquad x_{acc} = v_{acc}(t - T/2).\] \[x_{ret} = x_{acc}\ \to\ t_{bunch} = \frac{v_{acc}T}{2(v_{acc} - v_{ret})} = 11{,}61T,\] \[b = v_{ret}t_{bunch} = 2{,}272\cdot10^{-2}\text{ м}.\]

    b. Разность фаз: \[\Delta\varphi = \pm\left(\frac{t_{bunch}}{T} - n\right)2\pi = \pm0{,}61\times2\pi = \pm220^\circ,\] или \(\Delta\varphi = \pm140^\circ\).

    Часть 1b \[\rho_L = n_L\frac{M}{N_A},\] где \(n_L\) — число молекул в кубическом метре в жидкой фазе. Среднее расстояние между молекулами воды в жидкой фазе: \[d_L = (n_L)^{-1/3} = \left(\frac{M}{\rho_LN_A}\right)^{1/3}.\] \(P_aV = nRT\), где \(n\) — число молей; \[P_a = \frac{nM}{V}\frac{RT}{M} = \rho_V\frac{RT}{M} = \frac{n_VM}{N_A}\frac{RT}{M},\] где \(n_V\) — число молекул в кубическом метре в паре. \[d_V = (n_V)^{-1/3} = \left(\frac{RT}{P_aN_A}\right)^{1/3},\qquad \frac{d_V}{d_L} = \left(\frac{RT\rho_L}{P_aM}\right)^{1/3} = 12.\]

    Часть 1c

    a. График напряжения:

    Рисунок

    b. \(V_i \gg V_f\).

    c. \(V_f = V_i\left(1 - e^{-T/RC}\right)\). Если \(V_i \gg V_f\), то \(T/RC \ll 1\) и \(e^{-T/RC} \approx 1 - (T/RC)\); тогда \(T = (V_f/V_i)RC\).

    d. \(R\).

    e. \(SG\) и \(R\).

    f. Правильная схема:

    Рисунок

    Оценивается: напряжение \(V_0'\) и \(V_i' - V_f\) с правильной полярностью.

    Часть 1d

    При прохождении пучка через отверстие диаметром \(D\) возникающая неопределённость \(y\)-компоненты импульса \[\Delta p_y \approx \frac{\hbar}{D},\] и соответствующей компоненты скорости \[\Delta v_y \approx \frac{\hbar}{MD}.\] Диаметр пучка становится больше диаметра отверстия на величину \(\Delta D = \Delta v_y t\), где \(t\) — время полёта.

    Если температура печи \(T\), типичный атом вылетает из отверстия с кинетической энергией \[KE = \frac12Mv^2 = \frac32kT,\qquad v = \sqrt{\frac{3kT}{M}}.\] Пучок проходит горизонтальное расстояние \(L\) со скоростью \(v\) за время \(t = L/v\), поэтому \[\Delta D = t\Delta v_y \approx \frac{L}{v}\frac{\hbar}{MD} = \frac{L\hbar}{MD\sqrt{\dfrac{3kT}{M}}} = \frac{L\hbar}{D\sqrt{3MkT}}.\] Следовательно, новый диаметр после прохождения расстояния \(L\): \[D_{new} = D + \frac{L\hbar}{D\sqrt{3MkT}}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх