Простейшая модель газового разряда

Часть А. Несамостоятельный газовый разряд

В этой части задачи будем изучать несамостоятельный газовый разряд, для поддержания которого необходимо постоянное присутствие внешнего ионизатора, т.е. устройства, которое в единице объема газа в единицу времени однородно по всему объему создает \(Z_{ext}\) пар однократно ионизированных атомов и электронов.

При включении внешнего ионизатора число пар электронов и ионов начинает расти. Неограниченному увеличению концентрации электронов и ионов в газе препятствует процесс их рекомбинации, при котором свободный электрон соединяется с ионом и образуется нейтральный атом. Число рекомбинаций в единице объема в единицу времени \(Z_{rec}\) дается формулой

\[Z_{rec}=rn_{e} n_{i},\]где \(r\) — постоянная, называемая коэффициентом рекомбинации, а \(n_{e}\) и \(n_{i}\) — концентрации электронов и ионов соответственно.

Пусть в момент \(t=0\) включается внешний ионизатор. Начальная концентрация электронов и ионов в газе равна нулю. Тогда зависимость концентрации электронов \(n_{e}(t)\) от времени \(t\) выражается формулой

\[n_{e} (t)=n_{0}+a \tanh⁡ bt,\]где \(n_{0}\), \(a\), \(b\) — некоторые постоянные, а \(\tanh ⁡x\) — гиперболический тангенс.

A1. Найдите \(n_{0}\), \(a\), \(b\) и выразите ответ через \(Z_{ext}\) и \(r\).

Предположим, что имеется два внешних ионизатора. Известно, что при включении одного из них в газе устанавливается концентрация электронов, равная \(n_{e1}=12 \cdot 10^{10}~см^{-3}\). При включении другого внешнего ионизатора в газе устанавливается концентрация электронов, равная \(n_{e2}=16 \cdot 10^{10}~см^{-3}\).

A2. Найдите установившуюся концентрацию электронов \(n_{e}\), если два ионизатора будут работать одновременно.

Внимание! В дальнейшем считайте, что внешний ионизатор действует в течение достаточно длительного промежутка времени, так что все процессы являются стационарными и не зависят от времени. Собственным электрическим полем носителей заряда полностью пренебрегайте.

Пусть газ находится в трубке между двумя параллельными проводящими пластинами площади \(S\), расположенными на расстоянии \(L \ll \sqrt{S}\) друг от друга. Приложим к пластинам напряжение \(U\), при этом между ними образуется электрическое поле. Считайте, что концентрация обоих носителей в трубке практически везде одинакова.

Пусть в электрическом поле электроны (обозначенные индексом \(e\)) и ионы (обозначенные индексом \(i\)) приобретают одинаковую скорость упорядоченного движения, равную

\[v=\beta E,\]где \(E\) — напряженность электрического поля, а \(\beta\) — так называемая подвижность.

A3. Выразите силу тока в трубке \(I\) через \(U\), \(\beta\), \(L\), \(S\), \(Z_{ext}\), \(r\), \(e\), где \(e\) — элементарный заряд.

A4. Найдите удельное сопротивление газа \(\rho_{gas}\) при малых значениях приложенного напряжения и выразите его через \(\beta\), \(L\), \(Z_{ext}\), \(r\), \(e\).

Часть B. Самостоятельный газовый разряд

Изучим процесс зажигания самостоятельного газового разряда, при котором ток в трубке становится самоподдерживающимся.

Внимание! В дальнейшем считайте, что внешний ионизатор продолжает действовать с тем же  \(Z_{ext}\), электрическое поле всюду однородно, а рекомбинацией можно полностью пренебречь. Собственным электрическим полем носителей заряда полностью пренебрегайте.

Для самостоятельного газового разряда важны два процесса, не рассмотренных выше. Первый процесс — вторичная электронная эмиссия, а второй — образование электронной лавины. Вторичная электронная эмиссия возникает в тот момент, когда ионы ударяют по отрицательному электроду, называемому катодом, и выбивают из него электроны, которые затем движутся к положительному электроду, называемому анодом. Отношение числа выбитых в единицу времени электронов \(\dot{N}_{e}\) к числу ионов \(\dot{N}_{i }\), попадающих на катод в единицу времени, называется коэффициентом вторичной электронной эмиссии \(\gamma=\dot{N}_{e}/\dot{N}_{i}\).

Образование электронной лавины происходит следующим образом. Электрическое поле ускоряет свободные электроны, которые ионизируют атомы при столкновении с ними. В результате число свободных электронов растет при их движении к аноду. Этот процесс характеризуется коэффициентом Таунсенда \(\alpha\), который описывает увеличение числа электронов \(dN_{e}\) на единицу длины пути \(dl\), то есть

\[\frac{dN_{e}}{dl}=\alpha N_{e}.\]Полный ток \(I\) в любом сечении трубки с газом складывается из ионного \(I_{i} (x)\) и электронного токов \(I_{e} (x)\), которые в стационарном режиме зависят от координаты \(x\), показанной на рисунке.

Изменение электронного тока \(I_{e} (x)\) вдоль оси \(x\) описывается формулой

\[I_{e} (x)=C_{1} e^{A_{1} x}+A_{2},\]где \(A_{1}\), \(A_{2}\), \(C_{1}\) — некоторые постоянные.

B1. Найдите \(A_{1}\), \(A_{2}\) и выразите их через \(Z_{ext}\), \(\alpha\), \(e\), \(L\), \(S\).

Изменение ионного тока \(I_{i} (x)\) вдоль оси \(x\) описывается формулой

\[I_{i} (x)=C_{2}+B_{1} e^{B_{2} x},\]где \(B_{1}\), \(B_{2}\), \(C_{2}\) — некоторые постоянные.

B2. Найдите \(B_{1}\), \(B_{2}\) и выразите их через \(Z_{ext}\), \(\alpha\), \(e\), \(L\), \(S\), \(C_{1}\).

B3. Запишите условие для тока \(I_{i} (x)\) в точке \(x=L\).

B4. Запишите условие для токов \(I_{i}(x)\) и \(I_{e} (x)\) в точке \(x=0\).

B5. Найдите полный ток \(I\) и выразите его через \(Z_{ext}\), \(\alpha\), \(\gamma\), \(e\), \(L\), \(S\). Считайте, что полный ток остается конечной величиной.

Пусть коэффициент Таунсенда \(\alpha\) постоянен. При длине разрядного промежутка, большей некоторого критического значения \(L>L_{cr}\), внешний ионизатор может быть отключен, т.е. разряд становится самостоятельным.

B6. Найдите \(L_{cr}\) и выразите его через \(Z_{ext}\), \(\alpha\), \(\gamma\), \(e\), \(L\), \(S\).