Заряд над диполем

Потенциальная энергия заряда в поле диполя зависит от угла между осью диполя и направлением на заряд. Проверьте, что заряд движется по окружности радиуса \(l\) с центром в середине диполя.

Найдем сначала потенциальную энергию взаимодействия заряда \(q\) с диполем, т.е. с близко расположенными зарядами \(+e\) и \(-e\). Пусть заряд \(q\) находится на расстоянии \(r\) от отрицательного заряда так, что угол между отрезком, соединяющим заряды диполя, и направлением на \(q\) равен \(\theta\) (при \(\theta = 0\) заряд \(q\) лежит на стороне отрицательного заряда). Расстояние до положительного заряда больше на \(d\cos\theta\), поэтому \[U(r,\theta) = keq\left(\frac{1}{r + d\cos\theta} - \frac{1}{r}\right) \approx -\frac{keqd\cos\theta}{r^2}.\] Здесь использована приближенная формула из указания.

Скорость заряда найдем по закону сохранения энергии, отсчитывая энергию от точки \(\theta = 90^\circ\), где \(U = 0\): \[\frac{mv^2}{2} = \frac{keqd\cos\theta}{l^2}, \qquad v^2 = \frac{2keqd\cos\theta}{ml^2}.\] Радиальная составляющая силы, действующей на заряд со стороны диполя, равна \(F_r = -\partial U/\partial r\) на расстоянии \(r = l\): \[F_r = \frac{2keqd\cos\theta}{l^3}.\] Она направлена к середине диполя. Условие движения по окружности радиуса \(l\) \[F_r = \frac{mv^2}{l} = \frac{2keqd\cos\theta}{l^3}\] выполнено при любом угле \(\theta\). Значит, заряд движется по полуокружности радиуса \(l\) с центром в середине диполя.

Когда заряд пересекает прямую, на которой лежат заряды, \(\theta = 0\), и его скорость \[v = \sqrt{\frac{2keqd}{ml^2}}.\] Поскольку траектория — окружность радиуса \(l\), ускорение в этот момент центростремительное: \[a = \frac{v^2}{l} = \frac{2keqd}{ml^3}.\]