Цикл с адиабатой и изобарой

Сначала найдите КПД «половины» цикла: адиабата 1-2, изобара 2-4 и изохора 4-1, где точка 4 лежит на изохоре через точку 1 при давлении \(p_1/2\). Затем сравните с КПД всего цикла.

Рассмотрим сначала вспомогательную задачу — «половину» заданного цикла: 1-2 — адиабата, 2-4 — изобара, 4-1 — изохора. Газ получает тепло на изохоре 4-1 и отдает его на изобаре 2-4, поэтому КПД \[\eta = 1 - \frac{|Q_{2\to4}|}{Q_{4\to1}}.\] На изохоре 4-1 работа не совершается, и \(Q_{4\to1} = \Delta U = \dfrac{3}{2}\,(p_1V_1 - p_4V_4)\). Давление в два раза меняется в процессе, поэтому \(p_1 = 2p_4\), \(V_1 = V_4\), и \[Q_{4\to1} = \frac{3}{2}\,p_4V_4.\] На изобаре 2-4 газ отдает тепло \(Q_{2\to4} = \dfrac{5}{2}\,p_4(V_2 - V_4)\) в процессе сжатия. Объем \(V_2\) найдем из адиабаты \(p_1V_1^{5/3} = p_2V_2^{5/3}\) с \(p_2 = p_4 = p_1/2\): \(V_2 = 2^{3/5}V_4\). Тогда \[|Q_{2\to4}| = \frac{5}{2}\,p_4V_4\left(2^{3/5} - 1\right).\] Отсюда КПД вспомогательного цикла \[\eta = 1 - \frac{5}{3}\left(2^{3/5} - 1\right) = \frac{8 - 5\cdot 2^{3/5}}{3} \approx 0{,}14.\] КПД заданного цикла совпадает с этим значением: его работа и количества теплоты в два раза больше (площадь цикла и изменение объема на изобаре 2-3 вдвое больше), и отношение не меняется.