Бросок с тележки

Удобнее считать дальность в системе отсчета тележки. Бросать выгодно вперед по ходу движения; при этом дальность зависит от угла броска относительно тележки, а не только от угла относительно земли.

Чтобы дальность полета \(S\) была максимальной, тело нужно бросать в направлении движения тележки. Тогда дальность определяется соотношением \[S = vt + v_0 t\cos\alpha = vt + vt\cos\alpha,\] где \(\alpha\) — угол броска относительно тележки, \(t\) — время полета. Время полета тела, брошенного под углом \(\alpha\) к горизонту со скоростью \(v\), определяется вертикальной составляющей скорости: \(t = \dfrac{2v\sin\alpha}{g}\). Поэтому \[S = \frac{2v^2}{g}\,\sin\alpha\,(1 + \cos\alpha).\] Максимум этого выражения (его производная по \(\alpha\) обращается в ноль) достигается при \(2\cos^2\alpha + \cos\alpha - 1 = 0\), т.е. при \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\), \(\alpha = 60^\circ\) (второй корень \(\cos\alpha = -1\) соответствует минимуму). Тогда \[S_{max} = \frac{2v^2}{g}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}\,v^2}{2g}.\] Скорость тела относительно земли есть сумма скорости тележки и скорости тела относительно тележки. Поскольку модули этих скоростей равны, параллелограмм сложения скоростей — ромб, а его диагональ делит углы пополам. Поэтому вектор скорости тела относительно земли направлен под вдвое меньшим углом к горизонту: \(\alpha_{отн.земли} = 30^\circ\).