Граната, разорвавшаяся в верхней точке

Первым на землю упадёт осколок, летящий вертикально вниз, а последним — летящий вверх. Что нужно для того, чтобы последний осколок вернулся в точку взрыва?

Все осколки получают при взрыве одинаковую по модулю скорость \(v_1\). Первым на землю упадёт осколок, летящий вертикально вниз, последним — летящий вертикально вверх. Последний осколок поднимается, падает обратно в точку взрыва и затем повторяет движение первого осколка. Поэтому интервал времени, в течение которого осколки падали на землю, равен времени возвращения последнего осколка в точку взрыва: \[\Delta t = \frac{2v_1}{g}, \qquad v_1 = \frac{g\,\Delta t}{2}.\] Граната взорвалась на высоте \(h = \dfrac{v_0^2}{2g}\). Для первого осколка \[\frac{gt_1^2}{2} + v_1 t_1 - h = 0,\] откуда \[t_1 = \frac{\sqrt{v_1^2+v_0^2} - v_1}{g} = \sqrt{\frac{\Delta t^2}{4} + \frac{v_0^2}{g^2}} - \frac{\Delta t}{2}.\]