Треугольник на границе двух поверхностей

Силы трения на двух частях треугольника параллельны границе. Запишите равенство моментов этих сил относительно вершины, к которой приложена сила, и учтите, что массы частей пропорциональны их высотам.

Треугольник движется равномерно, поэтому сумма сил и сумма моментов сил, действующих на него, равны нулю. Силы трения на частях треугольника, лежащих над разными полуповерхностями, направлены параллельно границе и приложены к центрам тяжести этих частей: \[F = F_{\text{тр},1} + F_{\text{тр},2}.\] Граница делит треугольник на две части с высотами \(h_1\) и \(h_2\) (см. рисунок к решению). Уравнение моментов относительно точки приложения силы \(F\): \[F_{\text{тр},1}\,h_1 = F_{\text{тр},2}\,h_2.\]

Массы частей пропорциональны их площадям, а значит, высотам \(h_1\) и \(h_2\): \[m_1 = \frac{m h_1}{h_1+h_2}, \qquad m_2 = \frac{m h_2}{h_1+h_2}.\] Силы трения \(F_{\text{тр},1} = 2\mu m_1 g\) и \(F_{\text{тр},2} = \mu m_2 g\), поэтому из уравнения моментов \(2\mu h_1^2 = \mu h_2^2\), то есть \(\dfrac{h_1}{h_2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Тогда \[F = 2\mu m_1 g + \mu m_2 g = \frac{\mu m g\,(2h_1 + h_2)}{h_1+h_2} = \sqrt{2}\,\mu m g.\]