зад 1 Мощность на резисторе при замене соседнего
Три резистора с сопротивлениями \(r\), \(2r\) и \(3r\) соединили последовательно и подключили к источнику постоянного напряжения. В результате на резисторе с сопротивлением \(r\) выделяется мощность \(P\). Какая мощность будет выделяться на этом резисторе, если резистор с сопротивлением \(2r\) заменить резистором с сопротивлением \(4r\)? Остальные элементы цепи не изменяются.
▶ПодсказкаСкрыть
Ток в последовательной цепи определяется полным сопротивлением. Сравните сумму сопротивлений до и после замены.
▶ОтветСкрыть
\(P_1 = \dfrac{9}{16}P\).
▶РешениеСкрыть
Пусть напряжение источника равно \(U\). По закону Ома для участка цепи ток через резисторы \[I = \frac{U}{6r}.\] По закону Джоуля—Ленца мощность на резисторе \(r\): \[P = I^2 r = \frac{U^2}{36r}.\] После замены резистора \(2r\) на \(4r\) ток станет \[I_1 = \frac{U}{8r},\] и мощность на резисторе \(r\) равна \[P_1 = I_1^2 r = \frac{U^2}{64r} = \frac{9}{16}\,P.\]
зад 2 Граната, разорвавшаяся в верхней точке
Симметричная граната, брошенная вертикально вверх с начальной скоростью \(v_0\), в верхней точке траектории разорвалась на множество одинаковых осколков. Через какое время после взрыва упал на землю самый первый осколок, если осколки падали на землю в течение времени \(\Delta t\)?
▶ПодсказкаСкрыть
Первым на землю упадёт осколок, летящий вертикально вниз, а последним — летящий вверх. Что нужно для того, чтобы последний осколок вернулся в точку взрыва?
▶ОтветСкрыть
\(t_1 = \sqrt{\dfrac{\Delta t^2}{4} + \dfrac{v_0^2}{g^2}} - \dfrac{\Delta t}{2}\).
▶РешениеСкрыть
Все осколки получают при взрыве одинаковую по модулю скорость \(v_1\). Первым на землю упадёт осколок, летящий вертикально вниз, последним — летящий вертикально вверх. Последний осколок поднимается, падает обратно в точку взрыва и затем повторяет движение первого осколка. Поэтому интервал времени, в течение которого осколки падали на землю, равен времени возвращения последнего осколка в точку взрыва: \[\Delta t = \frac{2v_1}{g}, \qquad v_1 = \frac{g\,\Delta t}{2}.\] Граната взорвалась на высоте \(h = \dfrac{v_0^2}{2g}\). Для первого осколка \[\frac{gt_1^2}{2} + v_1 t_1 - h = 0,\] откуда \[t_1 = \frac{\sqrt{v_1^2+v_0^2} - v_1}{g} = \sqrt{\frac{\Delta t^2}{4} + \frac{v_0^2}{g^2}} - \frac{\Delta t}{2}.\]
зад 3 Тело на доске с нитью через блок
Тело массой \(m\) кладут на доску массой \(4m\) и связывают с доской невесомой и нерастяжимой нитью, переброшенной через блок (см. рисунок), прикреплённый к стене. Какую минимальную силу, направленную от стены, нужно приложить к доске, чтобы она начала двигаться? Коэффициент трения между всеми поверхностями равен \(k\).
▶ПодсказкаСкрыть
Доска начинает двигаться, когда внешняя сила превышает натяжение нити и обе силы трения. Тело начинает двигаться относительно доски, когда натяжение нити превышает максимальную силу трения между телом и доской.
▶ОтветСкрыть
\(F_{\min} = 7kmg\).
▶РешениеСкрыть
Чтобы доска начала двигаться, сила \(F\) должна превысить максимальную силу трения между доской и полом \(F_{\text{тр},1}\), максимальную силу трения между доской и телом \(F_{\text{тр},2}\) и силу натяжения нити \(T\): \[F \geq F_{\text{тр},1} + F_{\text{тр},2} + T.\] Чтобы тело начало двигаться, сила натяжения нити должна превысить максимальную силу трения между телом и доской: \[T \geq F_{\text{тр},2}.\] Подставляя \(T\) в первое неравенство и используя закон Кулона—Амонтона для максимальных сил трения, получаем \[F \geq F_{\text{тр},1} + 2F_{\text{тр},2} = 5kmg + 2kmg = 7kmg.\]
зад 4 Теплота в процессе с объёмом, зависящим от температуры
С одним молем идеального одноатомного газа происходит процесс, в котором объём газа зависит от температуры по закону \(V = \alpha\sqrt{T}\) (где \(\alpha\) — некоторая постоянная). Какое количество теплоты нужно сообщить газу для двукратного увеличения его объёма? Начальная температура газа \(T\).
▶ПодсказкаСкрыть
Из уравнения состояния найдите, что давление линейно зависит от объёма. Затем найдите работу как площадь под графиком \(p(V)\) и изменение внутренней энергии.
▶ОтветСкрыть
\(Q = 6RT\).
▶РешениеСкрыть
Из уравнения Клапейрона—Менделеева \(pV = \nu RT = \dfrac{\nu R V^2}{\alpha^2}\) получаем \(p = \dfrac{\nu R}{\alpha^2}V\): зависимость давления от объёма линейная. По первому началу термодинамики \[Q = \Delta U + A.\] Изменение внутренней энергии: при \(V_н\) начальная температура \(T\), при \(V_к = 2V_н\) температура \(T_к = 4T\), поэтому \[\Delta U = \frac{3}{2}R\,\Delta T = \frac{9}{2}RT.\] Работа равна площади под графиком \(p(V)\) (трапеция): \[A = \frac{(p_к + p_н)(V_к - V_н)}{2} = \frac{3}{2}RT.\] Следовательно, \[Q = \frac{9}{2}RT + \frac{3}{2}RT = 6RT.\]
зад 5 Треугольник на границе двух поверхностей
Вырезанный из листа фанеры равносторонний треугольник массой \(m\) тянут за одну из вершин по горизонтальной поверхности так, что эта вершина движется равномерно по границе двух полуповерхностей (см. рисунок, вид сверху). Коэффициент трения между треугольником и одной полуповерхностью \(\mu\), треугольником и второй полуповерхностью — \(2\mu\). Какой горизонтальной силой, направленной вдоль границы полуповерхностей, нужно действовать для этого на треугольник?
▶ПодсказкаСкрыть
Силы трения на двух частях треугольника параллельны границе. Запишите равенство моментов этих сил относительно вершины, к которой приложена сила, и учтите, что массы частей пропорциональны их высотам.
▶ОтветСкрыть
\(F = \sqrt{2}\,\mu m g\).
▶РешениеСкрыть
Треугольник движется равномерно, поэтому сумма сил и сумма моментов сил, действующих на него, равны нулю. Силы трения на частях треугольника, лежащих над разными полуповерхностями, направлены параллельно границе и приложены к центрам тяжести этих частей: \[F = F_{\text{тр},1} + F_{\text{тр},2}.\] Граница делит треугольник на две части с высотами \(h_1\) и \(h_2\) (см. рисунок к решению). Уравнение моментов относительно точки приложения силы \(F\): \[F_{\text{тр},1}\,h_1 = F_{\text{тр},2}\,h_2.\]
Массы частей пропорциональны их площадям, а значит, высотам \(h_1\) и \(h_2\): \[m_1 = \frac{m h_1}{h_1+h_2}, \qquad m_2 = \frac{m h_2}{h_1+h_2}.\] Силы трения \(F_{\text{тр},1} = 2\mu m_1 g\) и \(F_{\text{тр},2} = \mu m_2 g\), поэтому из уравнения моментов \(2\mu h_1^2 = \mu h_2^2\), то есть \(\dfrac{h_1}{h_2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\). Тогда \[F = 2\mu m_1 g + \mu m_2 g = \frac{\mu m g\,(2h_1 + h_2)}{h_1+h_2} = \sqrt{2}\,\mu m g.\]