Трапеция Лорда Кельвина

Какие линейные процессы \(p(V)\) имеют постоянную теплоёмкость? Выпишите теплоёмкость для прямой, проходящей через начало координат, и сравните её с изобарной и изохорной. Затем используйте уравнение состояния в точках цикла.

Пусть \(p = p_0 + \alpha V\). Из уравнения Менделеева—Клапейрона \((p_0 + \alpha V)V = \nu RT\), откуда \(\dfrac{dT}{dV} = \dfrac{p_0 + 2\alpha V}{\nu R}\). Подставляя это в выражение для теплоёмкости, получаем \[C = \nu\left(C_V + R\cdot\frac{p_0 + \alpha V}{p_0 + 2\alpha V}\right).\] Теплоёмкость не зависит от объёма только при \(p_0 = 0\), т.е. для прямой, проходящей через начало координат. Других линейных процессов с постоянной теплоёмкостью нет. Поскольку \(C_p = C_V + R\), имеем \(C_V < C = \dfrac{C_p + C_V}{2} < C_p\). Поэтому процессы \(bc\) и \(da\) — изобары, а \(ab\) и \(cd\) — прямые, проходящие через начало координат. Продолжая линии \(ab\) и \(cd\) до пересечения, находим начало координат. Лучи из начала координат, параллельные и перпендикулярные изобарам, дают направления осей \(V\) и \(p\).

Поскольку \(p_a = p_d\) и \(p_b = p_c\), из подобия треугольников \(V_b/V_c = V_a/V_d\), и \[\frac{T_b}{T_c} = \frac{V_b}{V_c} = \frac{V_a}{V_d} = \frac{T_a}{T_d} \quad\Rightarrow\quad T_b T_d = T_a T_c.\] Температуры в точках \(b\) и \(d\) одинаковы и равны \(T_2\), а температура в точке \(a\) максимальна и равна \(T_1\). Тогда \(T_c = T_2^2/T_1 = 100\) К: \[T_a = 400~\text{К},\qquad T_b = T_d = 200~\text{К},\qquad T_c = 100~\text{К}.\] Газ получает тепло на участках \(cd\) и \(da\), отдаёт — на участках \(ab\) и \(bc\): \[Q_+ = C(T_2 - T_3) + C_p(T_1 - T_2), \qquad Q_- = C(T_1 - T_2) + C_p(T_2 - T_3),\] где \(T_3 = T_c\). Для двухатомного газа \(C_p = \dfrac{7}{2}\nu R\), \(C = 3\nu R\). Тогда \[\eta = 1 - \frac{Q_-}{Q_+} = \frac{T_1 - T_2}{7T_1 + 6T_2} = 0{,}05.\]