Задачи › Дрейф, скрещенные поля

Движение в скрещенных полях

  1. Движение в скрещенных полях

    ВсОШ 2022/23, 11 кл.
    7/10

    В скрещённых электрическом и магнитном полях движется маленькая частица массой \(m\) с положительным зарядом \(q\). Вектор однородного электрического поля с напряжённостью \(E\) направлен вдоль оси \(y\). Вектор индукции магнитного поля направлен вдоль оси \(z\), перпендикулярной плоскости \(xy\) (см. рис.), а его величина зависит только от координаты \(y\) по закону \(B = \alpha\sqrt{|y|}\). В начальный момент времени частица расположена в начале координат, а её скорость равна нулю. При дальнейшем движении частица впервые остановилась в момент времени \(t = T\) после начала движения. Силы тяжести нет.

    Рисунок

    Примечание: при малых значениях \(\Delta x\) справедлива формула: \(\Delta(x^n) = n x^{n-1}\Delta x\).

    1. Определите скорость частицы в момент, когда она направлена вдоль оси \(x\).

    2. Определите радиус кривизны траектории частицы в точке с координатой \(y\).

    3. Изобразите траекторию частицы за время движения \(T\).

    4. На каком расстоянии от точки старта окажется частица через время \(\tau = 3T/2\)?

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Мощность силы Лоренца равна нулю, поэтому кинетическая энергия равна работе электрического поля. Ускорение вдоль оси \(x\) пропорционально \(B(y)\,v_y\), и \(B(y)\,dy\) удобно интегрировать по \(y^{3/2}\).

    Ответ

    1) \(v_1 = \sqrt{\dfrac{3E}{\alpha}\sqrt{\dfrac{2qE}{m}}}\);  2) \(R = \dfrac{3}{\alpha}\sqrt{\dfrac{mE}{2q}} = \text{const}\);  3) траектория — последовательность полуокружностей радиуса \(R\);  4) \(S(\tau) = \sqrt{10}\,R = \dfrac{3}{\alpha}\sqrt{\dfrac{5mE}{q}}\).

    Решение

    Мощность силы Лоренца равна нулю, поэтому кинетическая энергия частицы равна работе силы электрического поля: \[\frac{m v^2}{2} = qEy \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2qEy}{m}}.\] Вдоль оси \(x\) действует только сила Лоренца: \[m\,\dot v_x = q\,v_y B(y), \qquad \Delta v_x = \frac{q v_y B(y)\Delta t}{m} = \frac{\alpha q\sqrt{y}\,\Delta y}{m},\] откуда \(v_x(y) = \dfrac{2\alpha q\, y^{3/2}}{3m}\).

    Скорость направлена вдоль оси \(x\), когда \(v = v_x\). Отсюда координата \(y_1 = \dfrac{3m}{2\alpha q}\sqrt{\dfrac{2qE}{m}}\), и \[v_1 = \sqrt{\frac{3E}{\alpha}\sqrt{\frac{2qE}{m}}}.\]

    Радиус кривизны найдём из второго закона Ньютона в проекции на нормаль к скорости: \(\dfrac{m v^2}{R} = q v B + q E_n\), где \(E_n = -E\,\dfrac{v_x}{v}\) — нормальная компонента электрического поля. Подставляя \(v_x\) и \(B\), получаем \[\frac{2qEy}{R} = \alpha q y\sqrt{\frac{2qE}{m}} - \alpha q y\,\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2qE}{m}} = \frac{2\alpha q y}{3}\sqrt{\frac{2qE}{m}},\] откуда \[R = \frac{3}{\alpha}\sqrt{\frac{mE}{2q}} = \text{const}.\] Радиус постоянен, поэтому частица движется по полуокружности до остановки. После остановки движение повторяется: новая полуокружность того же радиуса, сдвинутая на \(2R\) вдоль оси \(x\). За половину периода частица проходит половину окружности, так как \(v \sim \sqrt{\sin\varphi}\), где \(\varphi\) — угловой размер пройденной дуги.

    Рисунок

    Через время \(\tau = 3T/2\) координаты частицы \((x, y) = (3R, R)\), и модуль её перемещения \[S(\tau) = \sqrt{10}\,R = \frac{3}{\alpha}\sqrt{\frac{5mE}{q}}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх