Вращающаяся гильза

Скорость точек на поверхности гильзы составляет с её осью постоянный угол, поэтому отношение поступательной и вращательной скоростей не меняется. Запишите силу трения в направлении движения через \(\cos\alpha\) и примените закон сохранения энергии.

Скорость точек на внешней поверхности гильзы направлена к оси под углом \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{\omega R}{v}\). Сила трения направлена противоположно скорости точек поверхности, поэтому не меняет угол между их скоростью и осью гильзы, а влияет только на модули скоростей. Следовательно, в процессе торможения отношение поступательной и линейной вращательной скоростей остаётся неизменным: \[\frac{\omega R}{v} = \frac{\omega_0 R}{v_0}.\] Сила трения, действующая на гильзу вдоль оси, равна \(F_x(x) = F(x)\cos\alpha = F(x)\,\dfrac{v_0}{\sqrt{(\omega_0 R)^2 + v_0^2}}\), т.е. движение гильзы вдоль оси аналогично движению невращающейся гильзы под действием «уменьшенной» силы \(F_x(x)\). Закон сохранения энергии для прохождения гильзы через отверстие (работа силы трения равна площади под треугольным графиком \(F_x(x) = F(x)\cos\alpha\) на отрезке \(0\ldots 2l\), т.е. \(F_0 l\cos\alpha\)): \[\frac{m v_{\min}^2}{2} = \frac{F_0 l\, v_{\min}}{\sqrt{(\omega_0 R)^2 + v_{\min}^2}},\] откуда \(v_{\min}^2\left((\omega_0 R)^2 + v_{\min}^2\right) = \left(\dfrac{2F_0 l}{m}\right)^2\), и \[v_{\min}^2 = \sqrt{\frac{(\omega_0 R)^4}{4} + \left(\frac{2F_0 l}{m}\right)^2} - \frac{(\omega_0 R)^2}{2}.\]

Во втором вопросе используем связь \(\omega v = \omega_0 v_0\). В момент полного погружения скорость поступательного движения \(v_1\) в \(\sqrt{2}\) раз меньше \(v_0\), так как работа сил трения к этому моменту составляет половину работы до вылета: \(v_1 = v_0/\sqrt{2}\), поэтому \(\omega_1 = \omega_0\sqrt{2}\).

При движении внутри отверстия (до полного погружения) сила \(F_x\) линейно растёт, и ускорение гильзы \[a = -\frac{F_0\cos\alpha}{ml}\,x,\] что совпадает с уравнением гармонических колебаний с циклической частотой \[\Omega = \sqrt{\frac{F_0\cos\alpha}{ml}} = \sqrt{\frac{F_0 v_0}{ml\sqrt{(\omega_0 R)^2 + v_0^2}}}.\] Координата переднего среза гильзы \(x = x_0\sin\Omega t\), где \(x_0 = v_0/\Omega\). Время погружения \(\tau\) находится из условия \(l = x_0\sin\Omega\tau\): \[\tau = \frac{1}{\Omega}\arcsin\!\left(\frac{l}{x_0}\right).\]