Разминка

Перейдите во вращающуюся систему отсчёта: в ней на каждый цилиндр действует центробежная сила, а нить связывает их. В пункте 1.2 учтите, что проводящие шарики с пружиной эквипотенциальны, и найдите индуцированные заряды.

1.1) \(\bar x_1=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,l\) (равновесие неустойчиво); при \(x_{10}<\bar x_1\) цилиндр уходит к оси (\(x_1=0\)), при \(x_{10}>\bar x_1\) устанавливается \(x_1=l\) (ступенька); 1.2) амплитуда \(x_0=\dfrac{2\pi\varepsilon_0 r l E^2}{2k-4\pi\varepsilon_0 r E^2}\), период \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{2k-4\pi\varepsilon_0 rE^2}}\) (колебания при \(k>2\pi\varepsilon_0 rE^2\)); 1.3) \(\dfrac{\Delta R}{\Delta t}=-\dfrac{4\sigma D}{h_0R_0^2}\,\dfrac{R^3}{3P_0R^2+8\sigma R}\), \(\Delta t=\Delta R\,\dfrac{h_0(3P_0R_0+8\sigma)}{4\sigma D}\).

1.1 Уравнения динамики цилиндров вдоль стержня во вращающейся системе (натяжение нити \(N\), \(x_2=l-x_1\)): \[m_1a_1=m_1\omega^2x_1-N,\qquad -m_2a_1=m_2\omega^2(l-x_1)-N.\] Вычитая из первого уравнения второе, получаем \[(m_1+m_2)a_1=(m_1+m_2)\omega^2x_1-m_2\omega^2 l.\] Положение равновесия (\(a_1=0\)): \[\bar x_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}\,l.\] Оно неустойчиво: при \(x_1>\bar x_1\) ускорение \(a_1>0\) и цилиндр смещается дальше, при \(x_1<\bar x_1\) ускорение \(a_1<0\). Поэтому при \(x_{10}<\bar x_1\) первый цилиндр сместится к оси вращения (дойдёт до \(x_1=0\)), в противном случае к оси сместится второй цилиндр, и координата первого станет равной длине нити, \(x_1=l\). При \(x_{10}=\bar x_1\) конечное положение однозначно не определяется. Зависимость \(x_1(x_{10})\) имеет вид ступеньки.

1.2 Шарики и пружина проводящие, поэтому разность потенциалов между шариками равна нулю. При \(l\gg r\) условие эквипотенциальности: \[\frac{q}{4\pi\varepsilon_0r}-\frac{(-q)}{4\pi\varepsilon_0r}=El\quad\Rightarrow\quad q=2\pi\varepsilon_0rlE.\] Пусть каждый шарик сместился на \(x\) от положения при отсутствии поля. Второй закон Ньютона для шарика: \[ma=qE-2kx-\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0(l+2x)^2}.\] Подставляя \(q=2\pi\varepsilon_0r(l+2x)E\) (заряды зависят от расстояния), получаем \[ma=2\pi\varepsilon_0r(l+2x)E^2-2kx-\frac{\bigl(2\pi\varepsilon_0r(l+2x)E\bigr)^2}{4\pi\varepsilon_0(l+2x)^2}.\] Последним слагаемым можно пренебречь ввиду малости \(r\): \[ma=-\bigl(2k-4\pi\varepsilon_0rE^2\bigr)x+2\pi\varepsilon_0rlE^2.\] Колебания возможны, только если \(k>2\pi\varepsilon_0rE^2\) (иначе пружина не удержит шарики). Тогда это гармонические колебания с периодом \[T=2\pi\sqrt{\frac{m}{2k-4\pi\varepsilon_0rE^2}}.\] Положение равновесия \[x_0=\frac{2\pi\varepsilon_0rlE^2}{2k-4\pi\varepsilon_0rE^2}.\] Так как до включения поля \(x=0\), это и амплитуда колебаний каждого шарика.

1.3 По закону Фика скорость изменения числа молекул воздуха внутри пузыря \[\frac{\Delta N}{\Delta t}=-D\,\frac{n-n_0}{h}\,S.\] Разность давлений внутри и снаружи равна лапласовскому давлению, \(P-P_0=\dfrac{4\sigma}{R}\), поэтому \[n-n_0=\frac{P-P_0}{kT}=\frac{4\sigma}{kTR}.\] Число молекул в пузыре \[N=nV=\frac{4}{3}\pi R^3\frac{P}{kT}=\frac{4\pi R^3}{3kT}\Bigl(P_0+\frac{4\sigma}{R}\Bigr).\] Площадь плёнки \(S=4\pi R^2\); из постоянства объёма плёнки \(h\cdot4\pi R^2=h_0\cdot4\pi R_0^2\), откуда \(h=h_0R_0^2/R^2\). Подставляя всё в закон Фика: \[\frac1{\Delta t}\Delta\Bigl(\frac{4\pi R^3}{3kT}\Bigl(P_0+\frac{4\sigma}{R}\Bigr)\Bigr)=-D\,\frac{4\sigma}{kTR}\cdot\frac{R^2}{h_0R_0^2}\,4\pi R^2\;\Rightarrow\;\frac{\Delta(P_0R^3+4\sigma R^2)}{\Delta t}=-\frac{4\sigma D}{h_0R_0^2}R^3.\] Вычисляя изменение левой части, получаем скорость изменения радиуса: \[\bigl(3P_0R^2+8\sigma R\bigr)\frac{\Delta R}{\Delta t}=-\frac{4\sigma D}{h_0R_0^2}R^3\;\Rightarrow\;\frac{\Delta R}{\Delta t}=-\frac{4\sigma D}{h_0R_0^2}\,\frac{R^3}{3P_0R^2+8\sigma R}.\] Если пренебречь лапласовским давлением по сравнению с атмосферным, скорость пропорциональна радиусу, то есть радиус убывает экспоненциально.

При малом изменении радиуса можно положить \(R=R_0\), тогда искомое время \[\Delta t=\Delta R\,\frac{h_0R_0^2}{4\sigma D}\cdot\frac{3P_0R_0^2+8\sigma R_0}{R_0^3}=\Delta R\,\frac{h_0(3P_0R_0+8\sigma)}{4\sigma D}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.